Calcolo delle variazioni: continuità Lipschitziana della soluzione minimizzante nel caso di una Lagrangiana autonoma

Il presente lavoro ha come argomento principale il Calcolo delle Variazioni. Il Calcolo delle Variazioni è un settore dell’Analisi Matematica di grande importanza per la modellizzazione di problemi geometrici, fisici e meccanici collegati alla ricerca del massimo o del minimo di entità che possono essere espresse come funzioni di altre variabili. In particolare la tesi verterà sul problema di una Lagrangiana autonoma, studiando quando le soluzioni assolutamente continue sono Lipschitziane continue. Nel primo capitolo verranno fornite le conoscenze preliminari e i Teoremi utili per poter affrontare il lavoro; nel secondo invece si introdurranno problemi del Calcolo delle Variazioni riguardanti funzioni assolutamente continue. Il terzo e quarto capitolo, la parte principale, sono una rivisitazione dell'articolo di Dal Maso-Frankowska 'Autonomous Integral Functionals with Discontinuous Nonconvex Integrands: Lipschitz Regularity of Minimizers, DuBois-Reymond Necessary Conditions, and Hamilton-Jacobi Equations' alla luce di quanto fatto nell'articolo di Bettiol-Mariconda 'A new variational inequality in the Calculus of Variations and Lipschitz regularity of minimizers'. Si procederà riconducendosi ad un problema di minimizzazione convessa con vincoli affini per poi introdurre una nuova disequazione variazionale che permetterà di dimostrare la Lipschitzianità della soluzione minimizzante. Il motivo che rende questo risultato così importante è che permette di considerare problemi discontinui rispetto x o x', i quali appaiono con maggior frequenza e hanno maggior interesse (trasmissione della luce in presenza di strati, combustione in mezzi non omogenei, ...)