Métodos computacionales de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones

El cálculo elastoplástico y la simulación del comportamiento de los materiales han formado parte de la mecánica de los medios continuos desde su origen como rama de la ciencia y la ingeniería, desde que a medidos del siglo XIX ingenieros y científicos de la época le dedicaran su atención a este área de conocimiento. Los primeros postulados sobre el comportamiento y la deformación plástica de los materiales se enunciaron de forma rigurosa con la llegada de la Revolución Industrial, uno de los pioneros fue Henri Tresca, padre del metro como unidad de medida univsersal, que en 1864 elaboró la primera teoría de fallo plástico por tensión cortante máxima, teoría tan sencilla y eficaz que aún sigue en uso ingenieril de forma amplia. Casi a la par que Tresca, Cauchy había postulado la teoría de tensiones que lleva su nombre, y que hoy en día forman parte fundamental de la mecánica de los medios continuos. Desde entonces las ecuaciones de comportamiento elástico y elastoplástico han evolucionado en gran manera, no solo en el conocimiento físico de la naturaleza de los materiales que provoca esos comportamientos, sino también en la matemática que da soporte a la física del problema. Si la teoría elaborada por Tresca se reducía a una sencilla expresión de apenas un par de términos, hoy en día se utilizan formulaciones más refinadas, donde el uso de variables de magnitud tensorial y funciones en derivadas parciales han permitido la mejora del rendimiento predictivo de simulación, y han ampliado el campo de aplicación de la mecánica computacional de los sólidos. La plasticidad es de forma innata un problema no lineal debido a la naturaleza constitutiva de la deformación plástica permanente. Adicionalmente, el uso de grandes deformaciones obliga a formular el comportamiento del sólido con deformaciones finitas, donde las ecuaciones cinemáticas de compatibilidad no lineales causan una relación desplazamiento-deformación también no lineal. Así pues, la resolución del problema elastoplástico generalizado incorpora ambas fuentes de no linealidad, lo que lleva a que las ecuaciones resultantes en el cálculo elastoplástico actual sean resueltas numéricamente con algoritmos iterativos de naturaleza incremental, que suponen un coste computacional muy importante. El objetivo de este trabajo de tesis doctoral es el desarrollo y aplicación de un modelo computacional de cálculo elastoplástico capaz de simular el comportamiento de un sólido en presencia de grandes deformaciones y considerando el material anisótropo, tanto desde el punto de vista elástico como plástico, y sin dejar de lado como objetivo la eficiencia de cálculo. El modelo computacional que se presenta contiene la formulación matemática adecuada de acuerdo a la mecánica de los medios continuos, y se desarrolla en base a los siguientes ingredientes para cumplir con el objetivo propuesto: * La aplicación de una formulación del problema elastoplástico válida para grandes deformaciones y que reproduce el endurecimiento plástico del material, tanto endurecimiento isótropo como cinemático, a través de una cinemática multiplicativa con la descomposición de Lee como base. * El uso de una formulación descrita en grandes deformaciones, a través de una medida de deformaciones finitas logarítmicas o naturales, y el uso de una descripción de tensiones coherente con estas deformaciones que cumplen con los requesitos cinemáticos del problema. Ambas variables de tensión y deformación añaden como principal virtud el uso de los mismos esquemas de cálculo tanto para deformaciones finitas como para deformaciones infinitesimales, ya que describen el problema con la misma sencillez en grandes y en pequeñas deformaciones, en beneficio de la eficiencia computacional. * La consideración de ecuaciones constitutivas de acuerdo a la naturaleza anisótropa del material en el comportamiento elástico y plástico, que se ha resuelto a través de funciones hiperelásticas de energía libre de Helmholtz que recogen esta anisotropía, así como una función de plastificación de tipo Hill válida para materiales con anisotropía ortótropa. * El uso de un procedimiento de integración de la ley de evolución de flujo plástico descrito con variables internas de naturaleza elástica, en lugar de las clásicas variables internas plásticas, resolviendo el problema no lineal mediante un algoritmo implícito del tipo predictor-corrector, descrito enteramente con variables tensoriales elásticas y simétricas. * Por último, el trabajo computacional se ha resuelto mediante la implementación del modelo elastoplástico en un código de cálculo de elementos finitos. En este trabajo de tesis la formulación propuesta se ha implementado primero en el código de cálculo DULCINEA, desarrollado en el grupo de trabajo donde se ha llevado a cabo este trabajo doctoral, y después se ha implementado el código en el programa comercial ADINA en forma de subrutina de usuario, para verificar el funcionamiento generalizado del problema, y para abordar posibles aplicaciones del cálculo elastoplástico con la formulación que se propone, como es el campo de la simulación de procesos industriales de conformado. ----------ABSTRACT---------- The elastoplastic computation and simulation of the behaviour of materials have been part of continuum mechanics since its origin as a branch of Science and Engineering, since at the nineteenth century contemporary engineers and scientists devoted their attention to this field. The first theories about the behaviour and the plastic deformation of the materials were written upon arrival of the Industrial Revolution. One of the pioneers was Henri Tresca, father of the meter as an universal unit of measure, who in 1864 developed the first theory of plastic failure due to the maximum shear stress, a simple and effective theory that remains still in use today in engineering. Almost at the same time, Augustin Cauchy wrote the stress tensor theory that nowadays is a fundamental basis of continuum mechanics. Since then, the equations of elastic and plastic behaviour have evolved, not only regarding the physical knowledge of the nature of materials, but also regarding the mathematics that gives support to the physics of the elastoplastic problem. If the theory written by Tresca was a simple expression of just a couple of terms, nowadays more refined formulations are employed and the use of tensor variables and functions in partial derivatives have improved the predictions, and have expanded the applications of computational solid mechanics. Plasticity is by its nature a nonlinear problem due to the material constitutive relations of permanent plastic deformation. In addition, the use of large displacements requires the use of finite strains to formulate the solid behaviour, where the kinematic and compatibility equations are nonlinear, which causes the displacement-strain relationship to be nonlinear. Thus, the solution of a generalized elastoplastic problem incorporates the two sources of nonlinearity, the material one and the geometric one. The resulting equations of the elastoplastic problem are solved with iterative algorithms of incremental nature, which are computationally expensive. The goal of this doctoral thesis is the development and application of a computational framework capable of simulating the behavior of an elastoplastic solid at large displacements and strains, and considering the anisotropic nature of the material, both in elastic and plastic contributions, also without sacrificing the overall computational efficiency. The computational model presents a mathematical formulation according to continuum mechanics, and later it has been implemented into a code of finite elements to solve the problem. The model contains the following ingredients to meet the proposed goal: * The application of an elastoplastic formulation valid for large strains, that reproduces the hardening of the material during plastic regime, both isotropic and kinematic hardening, through the use of a multiplicative kinematic rule based on the Lee decomposition. * The use of a formulation written for large displacements, through a measure of finite logarithmic strains and the use of a measure of stress consistent with these logarithmic strains, satisfying work conjugacy requirements in the most general cases. Both stress and strains variables have, as main asset, the use of the same computational schemes in both finite and infinitesimal strains, since they describe the problem with the same simplicity for large strains than for small strains, in benefit of computational efficiency. * The consideration of constitutive equations according to the anisotropic nature of the material in both elastic and plastic behavior, which has been solved through hyperelastic functions in terms of the Helmholtz free energy that describes this anisotropy, as well as a plastification function of Hill type valid for orthotropic materials. * The use of an integration procedure over the evolution plastic flow rule described with the use of internal variables of full elastic nature, instead of the classical internal plastic variables, used commonly. The nonlinear algorithm is an implicit predictor-corrector scheme described with fully elastic and symmetric tensor variables. * Finally, the computational work has been resolved by the implementation of the elastoplastic model into a finite element code. In this thesis the proposed formulation has been implemented first in the code DULCINEA, developed in the working group where this doctoral work has performed, and then into the commercial program ADINA, in the form of a user subroutine, to verify the usefulness of the approach to solve complex problems typical in industry. In this respect, several examples of sheet metal forming processes are included in this thesis