Mechanical modeling of poroelastic and residually stressed hyperelastic materials and its application to biological tissues

La tesis presentada trata sobre el modelado de materiales hiperelásticos con tensión residual y el modelado de materiales poroelásticos con aplicación en tejidos biológicos. Este documento trata dos teorías diferentes de los materiales, a saber, la poroelasticidad y la hiperelasticidad. En particular, se proporcionan marcos numéricos capaces de predecir su respuesta mecánica, así como la bifurcación y la post-bifurcación. En el área de investigación de la poroelasticidad, en el contexto de la mecánica del cáncer, en primer lugar, se proporciona el estado de la técnica del proceso de ampliación de escala (homogeneización asintótica) para obtener el sistema de EDP’s de la macroescala a partir de la configuración en la microescala. La respuesta mecánica en la macroescala se puede caracterizar mediante algunos coeficientes que contienen la información de la microescala. En segundo lugar, se explica el sistema de EDP a resolver en subdominios de una celda a nivel de la microescala (fases fluida y sólida) y se proporcionan los marcos numéricos apropiados para resolverlo. Los coeficientes para la macroescala son entonces derivados a partir de la solución de los problemas anteriores y se estudia en detalle la dependencia de las propiedades mecánicas e hidráulicas de los medios poroelásticos en ambos la porosidad y la compresibilidad de la matriz sólida. Los hallazgos se presentan mediante un análisis paramétrico que se realiza variando la porosidad y la relación de Poisson de la matriz que, por ejemplo, revela una dependencia no trivial del módulo de Biot en la porosidad y la compresibilidad de la matriz. Los resultados numéricos tridimensionales, que se presentan en el contexto del modelado de tumores, sirven como un primer paso para cuantificar la respuesta en la macroescala de los materiales poroelásticos sobre la base de su microestructura subyacente. Esto se hace implementando el sistema de ecuaciones de la macroescala en un código de elementos finitos. Los resultados pueden usarse para relacionar la respuesta mecánica e hidráulica del tejido con sus propiedades microestructurales, que, a su vez, pueden ser útiles para distinguir entre un tumor benigno y un tumor maligno. Además, la visualización de los desplazamientos en la macroescala sirve como una herramienta robusta para cuantificar las propiedades poroelásticas de los tejidos presentes en los tumores y en el cerebro mediante el uso de técnicas como la poroelastografía. En el área de investigación de la hiperelasticidad, en el contexto de la formación y propagación de aneurismas, en primer lugar, se proporciona el estado del arte del estudio analítico de diferentes modos de bifurcación en membranas cilindricas circulares elongadas formadas por material hiperelástico sometidas a una presión de inflamiento. El objetivo es lograr una comprensión de los posibles modos de bifurcación con el fin de guiar y acotar los resultados numéricos presentados. En segundo lugar, se presenta un cilindro con sección circular de pared gruesa pre-elongado de material hiperelástico con tensiones residuales sometido a una presión de inflamiento y se analizan sus diferentes modos de bifurcación, así como su post-bifurcación. La dependencia de las inestabilidades de los modelos de las tensiones residuales y el estiramiento previo axial es mostrada y se compara con los resultados obtenidos cuando no hay tensión residual. Los resultados numéricos resaltan que se espera una bifurcación por abultamiento para valores grandes del estiramiento axial, mientras que el modo de flexión ocurre en los casos con valores pequeños del estiramiento axial (cerca de la configuración no extendida). Se obtiene que en la anterior bifurcación la estructura puede soportar más presión durante la postbifurcación hasta que se alcanza una protuberancia unilateral con forma irregular que es consistente con la formación y propagación de los aneurismas aórticos abdominales (AAA). ----------ABSTRACT---------- The thesis deals with the modeling of residually stressed hyperelastic as well as poroelastic materials with application in biological tissues. It deals with two different materials, namely, poroelastic and hyperelastic ones. In particular, numerical frameworks able to predict their mechanical response as well as bifurcation and post-bifurcation are provided. In the research area of poroelasticity, in the context of cancer mechanics, firstly, state of the art of the upscaling process (asymptotic homogenization) to reach the macroscale system of PDEs from microscale setting is given. The macroscale mechanical response can be characterized by means of some coefficients that hold the microscale information. Secondly, the system of PDEs to be solved in microscale cell sub-domains (fluid and solid phases) are explained and appropriate numerical frameworks able to solve them are provided. The macroscale coefficients then are derived from the solution of the latter problems and the dependence of mechanical and hydraulic properties of poroelastic media on the porosity and solid matrix compressibility is studied in detail. The findings are presented by means of a parametric analysis conducted by varying the porosity as well as the Poisson’s ratio of the matrix that, for instance, reveal a nontrivial dependency of Biot’s modulus on both porosity and compressibility of the matrix. The numerical three-dimensional results, which are presented in the context of tumor modeling, serve as a robust first step to quantify the macroscale response of poroelastic materials on the basis of their underlying microstructure. This is done by implementing the macroscale system of equations in a finite element code. The results can be used to relate the mechanical and hydraulic response of the tissue to its microstructural properties, which, in turn, can be useful to distinguish between benign tumor and cancer. Moreover, the macroscale visualization of the displacements serves as a robust tool to quantify the poroelastic properties of tissues such as tumors and brain by exploiting techniques such as poroelastography. In the research area of hyperelasticity, in the context of aneurysm formation and propagation, first, state of the art of analytical analysis of different bifurcation modes of extended circular cylindrical membranes made of hyperelastic material under inflation is given. The goal is to gain a better understanding of possible bifurcation modes of the model which can guide and benchmark the presented numerical results. Then, different bifurcation modes as well as post-bifurcation of pre-extended thick-walled circular cylinders made of residually stressed hyperelastic material under inflation are provided. The dependence of the instabilities of the models on residual stresses and axial pre-stretch is shown and compared with results when there is no residual stress. The numerical results highlight that bulging bifurcation is expected for large values of the axial stretch while the bending mode happens in the cases with small values of the axial stretch (close to the non-extended configuration). For the latter bifurcation, the structure can support more pressure during post-bifurcation until a one-sided bulge with irregular shape is reached, which is consistent with the formation and propagation of abdominal aortic aneurysms (AAA)