On the dichotomy spectrum in infinite dimensions

Das Dichotomie-Spektrum ist ein unverzichtbares Konzept in der Theorie explizit-zeitabhÃ$ngiger dynamischer Systeme. Es ist von maÃgeblicher Wichtigkeit sowohl in der StabilitÃ$tstheorie nichtautonomer Probleme, als auch zur Entwicklung einer geometrischen Theorie im Sinne von invarianten Mannigfaltigkeiten. Des Weiteren erscheint es als grundlegend fÃr die im Entstehen begriffene nichtautonome Verzweigungstheorie. In dieser Arbeit werden die Struktur und die Eigenschaften des Dichotomie-Spektrums bei linearen Differenzengleichungen mit unendlich-dimensionalen Zustandsraum untersucht. Im endlich-dimensionalen Kontext ist das Dichotomie-Spektrum eine Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen, deren Anzahl durch die Dimension des Raumes beschrÃ$nkt ist. Jedem dieser Spektralintervalle ist ein invariantes VektorbÃndel zugeordnet, welches LÃsungen mit einem bestimmten Wachstum enthÃ$lt. Eine so regulÃ$re Struktur kann im unendlich-dimensionalen Fall nicht mehr erwartet werden. TatsÃ$chlich kann jede kompakte Teilmenge der positiven Halbachse als Dichotomie-Spektrum auftreten. Aufgrund dessen fÃhren wir anhand eines Nicht-KompaktheitsmaÃes zwei neue GrÃÃen ein, welche wir als oberen bzw. unteren Dichotomie-Index bezeichnen. Mittels dieser Indizes zerlegen wir das Dichotomie-Spektrum in ein sogenanntes unteres, wesentliches und oberes Dichotomie-Spektrum. Das Hauptresultat dieser Arbeit ist ein Spektralsatz, der alle mÃglichen FÃ$lle des unteren und oberen Dichotomie-Spektrums beschreibt und eine "nichtautonome lineare Algebra" in Form von invarianten VektorbÃndeln liefert. Sowohl das untere als auch das obere Dichotomie-Spektrum besteht aus hÃchstens abzÃ$hlbar vielen abgeschlossenen Spektralintervallen. FÃr Differenzengleichungen, die eine geeignete Kompaktheitsbedingung erfÃllen, stimmt das Dichotomie-Spektrum zur GÃ$nze mit dem oberen Dichotomie-Spektrum Ãberein. Dementsprechend liefert der Spektralsatz in diesem Fall eine vollstÃ$ndige Beschreibung des zugehÃrigen Dichotomie-Spektrums. DarÃber hinaus erlangen wir geeignete Charakterisierungen fÃr die zuvor genannten Dichotomie-Indizes - im autonomen Fall stimmt der untere bzw. obere Dichotomie-Index mit dem inneren bzw. Ã$uÃeren wesentlichen Spektralradius Ãberein. Zudem beleuchten wir die Beziehung des Dichotomie-Spektrums zu den Lyapunov Exponenten und Ãbertragen unsere Resultate auf den zeit-kontinuierlichen Fall. AbschlieÃend behandeln wir StabilitÃ$tsfragen nichtlinearer Differenzengleichungen anhand des Dichotomie-Spektrums.The dichotomy spectrum is a crucial spectral notion in the theory of nonautonomous dynamical systems, since it is of significant importance in a stability theory for time-dependent problems, as well as to develop a geometric theory in terms of invariant manifolds or normal forms, or to derive continuation and bifurcation techniques. In this thesis, we mainly study the structure and properties of the dichotomy spectrum for linear difference equations in infinite-dimensional Banach spaces. It is well known that in the finite-dimensional context, the dichotomy spectrum is a union of closed intervals, where the number of intervals is restricted by the dimension of the space and each of these spectral intervals is associated with an invariant vector bundle containing solutions with a certain growth rate. In the general infinite-dimensional situation, one cannot expect such a regular structure. In fact, any compact subset of the positive half-line may occur as a dichotomy spectrum. To overcome this difficulty, we introduce, by means of a measure of noncompactness, two new quantities which we call the upper and lower dichotomy index. These indices are used to decompose the dichotomy spectrum into the lower, essential and upper dichotomy spectrum. Then the main result of this thesis is a Spectral Theorem which describes all possible cases of the upper and lower dichotomy spectrum and yields a "nonautonomous linear algebra" in terms of invariant vector bundles containing solutions with a certain growth rate. More precisely, we show that the lower as well as the upper dichotomy spectrum consists of at most countably many closed spectral intervals. For difference equations satisfying an appropriate compactness property, the dichotomy spectrum is fully determined by the upper dichotomy spectrum. So the Spectral Theorem gives a complete description of the associated dichotomy spectrum in this case. Moreover, we illuminate the relation between the dichotomy spectrum and Lyapunov exponents and deduce suitable characterizations for the above-mentioned dichotomy indices-in the autonomous case the lower and upper dichotomy index coincide with the inner and outer essential spectral radius, respectively. As an application, we transfer our results to continuous time problems and show how the dichotomy spectrum can be used to determine stability properties for nonlinear difference equations.Evamaria RußZusammenfassung in deutscher SpracheAlpen Adria Universität Klagenfurt, Dissertation, 2015OeBB(VLID)241469