Critical control times in optimal control of linear quantum system

Bu çalışmada doğrusal yapılandırılmış kuvantum sistemlerin eniyilemeli denetimi üzerine odaklanılmıştır. Hareket denklemlerinin oluşturumu ve sonra da çözümü üzerinde çalışmalarda bulunulmuştur. Potansiyel tanımında konuma bağımlılıkta, bağımsız değişkenlerin en çok ikinci dereceden olan kuvvetlerinin ya da onların ikili çarpımlarının doğrusal birleşimi alınmaktadır. Bu yapılar, sonunda birinci basamaktan sıradan türevli bir denklem takımıyla tanımlanabilen duruma getirilebilmektedir. Bu denklem takımında bağımsız değişken zaman parametresi olmakta ve değeri 0 ile etkileşme süresini gösteren T değeri arasında değişebilmektedir. Denklem takımına eşlik eden koşulların yarısı etkileşimin başında diğer yarısı ise sonunda verildiğinden “Zamanda Sınır Değer Problemi” nitelikli matematiksel bir yapıyla karşılaşılmaktadır. Çalışma dalga fonksiyonu ile eşdüzey fonksiyonunu değil, özellikle, dış alan genliği ile sapma parametresinin belirlenmesini amaçlamaktadır. Denklemlerin yapılarının elvermesinden yararlanarak, sadece zamana bağımlı olan ve aslında herbiri ya bir beklenen değer ya da dalga fonksiyonunun tanımladığı düzey ile eşdüzey fonksiyonunun tanımladığı düzey arasında geçiş değeri olan bilinmeyenler üzerinde sıradan türevli denklem takımları oluşturmak amaçlanmış ve başarılmıştır. Denklem takımının oluşturulması bütünüyle özgün olarak üretilmiş bulunmaktadır. İncelenen durumlardaki doğrusal yapılandırım, elde edilen sıradan türevli denklemlerin de doğrusal yapılı olmasına olanak sağlamıştır. Sınır değerli bu denklemlerin, ağırlıkların analitik olması durumunda kesin olarak çözümü sağlanmış diğer durumlar için önerilen bir saptırım açılımınınsa tüm parametre değerleri için yakınsak olacağı gösterilmiştir. Eniyilemeli denetimde denetim süresinin çözümün gerçekte uygulanabilirliğini çok önemli biçimde etkilediği gösterilmiştir. Sayıları sonsuz olabilen kritik denetleme süreleri için dış alan genliğinin ve sapmanın sonsuza gidebildiği bazı denetim sürelerinin ise sapmayı sıfırlama olanağı verebildiği de gösterilmiştir. Anahtar Kelimeler: Kuvantum mekaniği, optimal kontrol, dalga fonksiyonu, harmonik salınıcı.This work focuses on the evaluation of critical control times in the optimal control of linear quantum systems. The linearity is used to imply the existence of only linear intra forces in the system. This means that the system under consideration is composed of harmonic oscillators. The linearity is not only in the forces. The external field's dipole polarizability function is also taken linear in spatial variables. Beyond that the objective operator whose expectation value's deviation from its target value should be minimized in square and the penalty operator whose expectation value is to be suppressed are also linear in position and momentum operators. We assume that the system has 3N degree of freedom and the cost functional for the optimal control is composed of four terms: objective term which is the square of the objective operator whose expectation value's deviation from its prescribed target; penalty term for getting finiteness in external field; penalty term for an operator whose norm is to be suppressed ; dynamical constraint term which enters the quantum motion of the system to the optimisation. This cost functional depends on five unkowns: (1-2) wave function and its complex conjugate; (3-4) costate function which is in fact the Lagrange multiplier of the dynamical constraint term. It varies in time and space and somehow describes the backward motion of the system from the final instant of the control. It is a complex valued function hence its complex conjugate is the companion unknown to itself; The external field amplitude within the dipole the polarizability approximation. It is temporal and real valued. There may be a shorthand notation for the deviation of the expectation value of the objective operator from its target value. In that case, this entity can be considered as another unknown and can be handled by adding its definition as an extra condition. The equations of motion can be optained by setting the first variation of the cost functional to zero. Four partial differential equations are obtained for themselves and complex conjugates of the wave and costate functions. The equations for the wave function are accompanied by initial conditions while the costate function related partial differential equations are right hand sided and accompanied by final conditions. This for equations two by two, describes forward and backward evolutions for the system and these evolutions are connected by the algebraic however functional relation obtained for the external field amplitude. All these equations are non linear for the general case. However for the present linearity assumptions they become linear. The equations of motion mentioned above are not attempted to be solved. Instead, ordinary differential equations for the expectation values of position and momentum operators on the wave function and the transition terms between the states decscribed by the wave and costate functions are constructed. These temporal ODEs are linear but may be timevariant in the coefficients if the weight functions of the penalty terms are temporally varying. The simplest case involves the cases where these weights are constansts and the ODEs can be analytically solved in terms of an exponentials matrix. This results in analytic expressions for the unknowns. These expressions depend not only on time but olsa control time (T). As can be shown by rigorous analytical analysis and verified by the numerical implementations, there are certain critical values of the control time where the extressions grow up to infinity or vanishes. Vanishing values mean exact achievement of the target value by the expectation value of the objective operator. These are the best control instants where the goal is exactly achieved. On the other hand, control times causing infinite jumps, are just the time instants the control becomes infeasible. The critical control times creating infinite jumps are called "Critical Control Times for Uncontrollability" and it is important to know these values before attempting the experimentation to avoid uncontrollability. Otherwise, experiment is wasted out. The critical control times which make the deviation of the expectation values of the objective operator from its target value are called "Critical Control Times for Exact Achievement" and they are useful to get the best control. Paper contains all important issues about these points. Keywords: Quantum mechanics, optimal control, wave function, harmonic oscillator