Flexible and Rigid Labelings of Graphs

Rigiditätstheorie untersucht ebene und räumliche Realisierungen von Graphen, die gegebenen Bedingungen durch Kantenlängen genügen. Eine Realisierung ist mit einer Kantenbeschriftung kompatibel, wenn die euklidische Distanz zwischen zwei adjazenten Knoten gleich der Beschriftung dieser Kante ist. Wir sagen, dass zwei Realisierungen kongruent sind, wenn sie sich nur durch starre Transformationen unterscheiden. Beschriftungen mit unendlich vielen nicht-kongruenten kompatiblen Realisierungen heißen flexibel, wohingegen jene mit einer positiven endlichen Anzahl an Realisierungen starr genannt werden. Ein Graph heißt generisch starr, wenn die durch eine generische Realisierung induzierte Beschriftung starr ist. Ein solcher Graph kann aber trotzdem eine nicht-generische flexible Beschriftung haben. Der Fokus dieser Arbeit ist es diese nicht-generischen flexiblen Beschriftungen zu untersuchen. Wir zeigen, dass eine flexible Beschriftung genau dann existiert, wenn es eine so genannte NAC-Färbung gibt. Diese NAC-Färbung ist eine Färbung der Kanten in rot und blau, sodass jeder Zyklus des Graphen entweder einfärbig ist oder darin von jeder Farbe mindestens zwei Kanten existieren. In Realisierungen, die mit einer von einer NAC-Färbung kommenden Beschriftung kompatibel sind, können sich nicht-adjazente Knoten überlappen. Der Fokus liegt jedoch auf ordentlichen flexiblen Beschriftungen, das heißt auf solchen, die unendlich viele knoten-injektive Realisierungen haben. Wir liefern eine kombinatorische notwendige Bedingung für die Existenz einer ordentlichen flexiblen Beschriftung, welche auf den NAC-Färbungen des Graphen basiert. Durch verschiedene Konstruktionen von ordentlichen flexiblen Beschriftungen zeigen wir, dass diese Bedingung auch hinreichend für alle Graphen bis acht Knoten, aber nicht im allgemeinen, ist. Das Konzept der NAC-Färbungen wird durch spezielle aktive Färbungen wieder verwendet. Damit werden Werkzeuge für die Untersuchung von möglichen Familien ordentlich flexibler Beschriftungen generisch starrer Graphen erstellt. Diese aktiven NAC-Färbungen liefern algebraische Einschränkungen für die Kantenlängen. Weiters beschreiben wir eine Methode um mögliche aktive NAC-Färbungen zu finden indem wir Färbungen auf Teilgraphen in Form eines 4-Zyklus einschränken. Diese Werkzeuge verwenden wir schließlich um die ordentlichen flexiblen Beschriftungen bestimmter generisch starrer Graphen mit sieben Knoten zu klassifizieren. Neben flexiblen Beschriftungen untersuchen wir auch starre Beschriftungen. Die Realisierungen, die mit einer starren Beschriftung kompatibel sind, sind im Allgemeinen komplexe Lösungen eines algebraischen Systems. Für manche generisch starre Graphen haben wir Beschriftungen mit vielen reellen Lösungen gefunden indem wir rund um Einheitslängen geprüft haben. Wir beschreiben weiters eine Methode, die auf Koppelkurven basiert und starre Beschriftungen mit einer hohen Anzahl an reellen Realisierungen für bestimmte minimal starre Graphen im dreidimensionalen Raum liefert.Rigidity Theory studies realizations of a graph in the plane or space satisfying constraints given by edge lengths. A realization is compatible with a given edge labeling of the graph if the Euclidean distance of any two adjacent vertices is equal to the label of this edge. We say that two realizations are congruent if they differ only by a rigid transformation. Labelings with infinitely many non-congruent compatible realizations are called flexible, whereas if the number of non-congruent compatible realizations is positive and finite, they are called rigid. A graph is called generically rigid if the labeling induced by a generic realization is rigid. Nevertheless, it still may admit a non-generic flexible labeling. This is the main focus of the thesis to study non-generic flexible labelings. We show that a flexible labeling exists if and only if there is a so called NAC-coloring. A NAC-coloring is a coloring of the edges in red and blue such that for every cycle, either all edges of the cycle have the same color, or there are at least two blue and two red edges. Since nonadjacent vertices might coincide in realizations compatible with a flexible labeling coming from a NAC-coloring, we restrict ourselves to flexible labelings that are proper, i.e., they have infinitely many vertex-injective realizations. We provide a necessary combinatorial condition on the existence of a proper flexible labeling, which is based on all NAC-colorings of the graph. By various constructions of proper flexible labelings, we prove that this condition is also sufficient for all graphs up to eight vertices, but not in general. Some tools for studying possible families of proper flexible labelings of a generically rigid graph are presented. The concept of NAC-colorings is used again, since some NAC-colorings are active for a specific motion of the graph. Active NAC-colorings provide algebraic constraints for the edge lengths. Moreover, we describe a method determining possible active NAC-colorings based on restrictions to 4-cycle subgraphs. We apply the tools to classify all proper flexible labelings of a certain generically rigid graph with seven vertices. Besides flexible labelings, we study also rigid labelings. The realizations compatible with a rigid labeling are solutions of an algebraic system, which are in general complex. For some generically rigid graphs, we have found labelings with many real solutions using sampling around unit distance lengths. We also describe a method based on coupler curves which gives rigid labelings with a high number of real realizations for some minimally rigid graphs in 3-space.submitted by Jan LegerskýUniversität Linz, Dissertation, 2019OeBB(VLID)437022