MÉTHODES MARKOVIENNES EN ESTIMATION SPECTRALE NON PARAMETRIQUES. APPLICATION EN IMAGERIE RADAR DOPPLER

Président jury: Gilles Aubert Rapporteurs : Patrick Flandrin et Jean-Jacques Fuchs autres membres: Guy Demoment, Jérôme Idier, Daniel Muller (Thales-Air Défense)We address the problem of spectral analysis from a small number of data. Casted into a Fourier synthesis framework, short time spectral analysis is an underdetermined linear inverse problem. Regularization by penalization is an appealing approach to incorporate prior information on the sought spectrum, where a penalization function is combined with a data-based term in a regularized criterion. The spectral estimate is defined as the global minimizer of the criterion. The penalization function is specifically designed in three studied cases: the restoration of line, smooth and mixed spectra. Mixed spectra correspond to situations where peaks are embedded in smooth spectral components. The stress is put on the construction of convex penalization functions because they ensure the well-posedness of the regularized problem and they simplify the computation of the solution. Furthermore, we recommend to use circular functions, i.e. depending only on the magnitude of the sought Fourier coefficients. In addition, separable, Markovian and compound functions are retained to retrieve lines, smooth and mixed spectra, respectively. Choosing a convex function for smooth and mixed spectra restoration happens to lead to non derivable criteria. Consequently, we use a Graduated Nondifferentiability approach to compute the estimate. From an algorithmic point of view, the IRLS algorithm reveals the most efficient technique but is only available for line spectra estimation. We develop generalizations for the other cases, based on the half-quadratic development of the penalization function. The resulting block-coordinate descent method is converging and competitive with a pseudo-conjugate gradient algorithm. Finally, processing examples fully demonstrate the validity of the new approach, in the field of Doppler radar imaging from synthetic as well as real measures.Nous étudions Le problème de l'estimation spectrale dans la situation défavorable où très peu de données sont disponibles, et nous l'abordons sous l'angle de la synthèse de Fourier. Dans ce cadre, l'estimation spectrale s'identifie à un problème inverse linéaire sous-déterminé. Il convient de le régulariser sur la base d'informations a priori portant sur la forme du spectre, en définissant un critère composé d'une fonction de pénalisation et d'un terme d'attache aux données. Le minimiseur global de ce critère définit le spectre solution. Cette fonction de pénalisation est associée spécifiquement à chaque forme spectrale; sont étudiés les spectres impulsionnels, réguliers, et mélangés, où un fond continu se superpose à un spectre de raies. L'accent est mis sur la construction de fonctions de pénalisation convexes d'une part, car elles garantissent le caractère bien posé du problème régularisé et facilitent le calcul de la solution, et circulaires d'autre part, ie qui ne dépendent que des modules des coefficients de Fourier recherchés. De plus, nous retenons une fonction séparable pour estimer des raies, un terme markovien pour le cas régulier et une énergie composite pour le cas mélangé. Le choix d'une pénalisation convexe nous amène pour les cas régulier et mélangé, à considérer une fonction non différentiable en zéro. Le recours à une stratégie de Non Différentiabilité Graduelle permet d'obtenir une solution à faible coût calculatoire. Sur le plan algorithmique, la méthode IRLS s'avère la plus efficace mais ne s'applique qu'à l'estimation de raies. Nous proposons donc des généralisations aux autres cas reposant sur l'interprétation semi-quadratique augmentée de la pénalisation. La méthode de relaxation par blocs résultante est convergente et compétitive avec un algorithme de gradient pseudo-conjugué. Enfin, l'intérêt et l'efficacité des méthodes développées sont illustrés sur signaux synthétiques et réels dans le cadre de l'imagerie radar Doppler