Robustesse de la commande pr´edictive explicite

The control design techniques for linear or hybrid systems with constraints lead often to off-line state-space partitions with non-overlapping convex polyhedral regions. This corresponds to a piecewise affine (PWA) state feedback control laws associated to polyhedral partition of the state-space. Such control laws can be effectively implemented on hardwares for real-time control applications. However, the robustness of the explicit solutions depends on the accuracy of the mathematical model of the dynamical systems. The uncertainties in the system model poses serious challenges concerning the stability and implementation of the piecewise affine control laws. Motivated by the challenges facing the explicit solutions for the uncertainties in the dynamical systems, this thesis is mostly related to their analysis and re-design. The first part of this thesis aims to compute robustness margins for a given nominal PWA control law obtained for a linear discrete-time system. Classical Robustness margin i.e., gain margin and phase margin, considers the gain variation and phase variation of the model for which the stability of the closed loop is preserved.The second part of the thesis aims to consider perturbation in the representation of the vertices of the polyhedral regions. The quantized state-space partitions lose some of the important property of the explicit controllers: “non-overlapping”, “convexity” and “invariant” characterization. Two different sets called vertex-sensitivity and sensitivity margin are defined and determined to characterize admissible perturbation preserving the non-overlapping and the invariance property of the controller respectively. The third part analyse the complexity of the explicit solutions in terms of computational time and memory storage. Sequential and parallel evaluations of the PWA functions for the Alternating Direction Method of Multiplier (ADMM) algorithm are compared. In addition a comparison of the computational complexity of the parallel evaluations of the PWA functions for the Progressive Hedging Algorithm (PHA) on the Central Processing Unit (CPU) and Graphical Processing Unit (GPU) is made.Les techniques de conception de lois de commande pour les systèmes linéaires ou hybrides avec contraintes conduisent souvent à des partitions de l’espace d’état avec des régions polyédriques convexes. Ceci correspond à des lois de commande par retour d’état affine (PWA) par morceaux associées `a une partition polyédrale de l’espace d’état. De telles lois de commande peuvent être effectivement mises en œuvre sur des plateformes matérielles pour des applications de commande en temps réel. Cependant, la robustesse des solutions explicites dépend de la précision du modèle mathématique des systèmes dynamiques. Les incertitudes dans le modèle du système posent de sérieux défis en ce qui concerne la stabilité et la mise en œuvre des lois de commande affines par morceaux. Motivé par les défis auxquels font face les solutions explicites par rapport aux incertitudes dans les modèles des systèmes dynamiques, cette thèse est principalement axée sur leur analyse et à leur retouche. La première partie de cette thèse vise à calculer les marges de robustesse pour une loi de commande PWA nominale donnée obtenue pour un système de temps discret linéaire. Les marges de robustesse classiques, c’est-à-dire la marge de gain et la marge de phase, considèrent la variation de gain et la variation de phase du modèle pour lequel la stabilité de la boucle fermée est préservée.La deuxième partie de la thèse vise à considérer des perturbations dans la représentation des sommets des régions polyédriques. Les partitions de l’espace d’état quantifiées perdent une partie des propriétés importantes des contrôleurs explicites: “non-chevauchement”, “convexité” et/ou “ invariance”. Deux ensembles différents appelés sensibilité aux sommets et marge de sensibilité sont déterminés pour caractériser les perturbations admissibles, en préservant respectivement la propriété de non-chevauchement et d’invariance du contrôleur. La troisième partie vise à analyser la complexité des solutions explicites en termes de temps de calcul et de mémoire. Une première comparaison entre les évaluations séquentielles et parallèles des fonctions PWA par l’algorithme ADMM (Alternating Direction Method of Multiplier) est faite. Ensuite, la complexité computationnelle des évaluations parallèles des fonctions PWA pour l’algorithme de couverture progressive (PHA) sur l’unit´e centrale de traitement (CPU) et l’unit´e de traitement graphique (GPU) est comparée