Uniqueness of tensor train decomposition with linear dependencies

International audienceWith the increase in measurement/sensing technologies, the collected data are in intrinsically multidimensional in a large number of applications. This can be interpreted as a growth of the dimensionality/order of the associated tensor. There exists therefore a crucial need to derive equivalent and alternative models of a high-order tensor as a graph of low-order tensors. In this work we consider a " train " graph, i.e., a Q-order tensor will be represented as a Tensor Train (TT) composed of Q − 2 3-order core tensors and two core matrices. In this context, it has been shown that a canonical rank-R CPD / PARAFAC model can always be represented exactly by a TT model whose cores are canonical rank-R CPD/PARAFAC. This model is called TT-CPD. We generalize this equivalence to the PARALIND model in order to take into account potential linear dependencies in factors. We derive and discuss here uniqueness conditions for the case of the TT-PARALIND model.Avec l'accroissement des moyens d'acquisition et de mesures, les données d'intérêt sont par essence de nature multidimensionnelle. Ceci peut s'interpréter comme un accroissement de la dimension/ordre des modèles tensoriels associés. Il y a donc un besoin crucial d'avoir à notre disposition des représentations équivalentes d'un tenseur d'ordre élevé en un graphe de tenseurs d'ordre réduit. Dans ce travail nous considérons un graphe de type "train", c'est-à-dire, qu'un tenseur d'ordre Q sera représenté par un train de tenseur (TT) composé de Q − 2 coeurs tensoriels d'ordre 3 et deux coeurs matriciels. Dans ce cadre, il a été démontré qu'un modèle CPD/PARAFAC de rang canonique R peut être toujours représenté de manière exacte par un modèle TT dont les coeurs sont eux-même CPD/PARAFAC de rang canonique R. Ce modèle est nommé TT-CPD. Nous généralisons cette équivalence au modèle PARALIND afin de prendre en compte des potentielles dépendances linéaires dans les facteurs. Nous donnons et discutons ici les conditions d'unicité dans le cas du modèle TT-PARALIND