Introduction à la théorie des grandes matrices aléatoires

Cet article est une introduction à la théorie des grandes matrices aléatoires, à destination d’un public non spécialiste. On y énonce et démontre en détail le théorème de Marˇcenko- Pastur qui décrit le spectre asymptotique d’une grande matrice de covariance. On introduit la transformée de Stieltjes et les techniques de calcul associées, ainsi que quelques techniques de calcul gaussien qui nous permettent d’aborder rapidement le théorème de Marˇcenko-Pastur isotrope. On aborde également les grandes matrices de covariance plus générales et les modèles à petites perturbations. Enfin, on évoque une application de la théorie aux communications numériques.This article provides an introduction to large random matrix theory, aimed at a nonspecialist audience. We state and prove Marˇcenko-Pastur’s theorem which describes the asymptotic spectrum of a large covariance matrix. We introduce the Stieltjes transform and associated techniques; we also introduce specific techniques for matrices with gaussian entries, which in particular provide a short proof for the isotropic Marˇcenko-Pastur theorem. We also present covariance matrices with general population covariance matrices and spiked models. We finally give an application of the theory to wireless communication