Suurten kokonaisvahinkomäärien haasteet ja tunnistaminen

Vakuutusyhtiön on pyrittävä ennustamaan tulevia korvauskuluja. Yhdistetty satunnaismuuttuja, joka kertoo määrätyn ajanjakson vahinkojen suuruuksien yhteissummasta, on kokonaisvahinkomäärä. Tutkielmassa suurista kokonaisvahinkomääristä puhutaan silloin, kun kokonaisvahinkomäärä noudattaa paksuhäntäistä jakaumaa. Tutkielman tarkoitus on tutkia paksuhäntäisten jakaumien ominaisuuksia ja sitä, miten esimerkiksi kokonaisvahinkomäärän jakauma olisi mahdollista tunnistaa paksuhäntäiseksi. Tutkielmassa tarkastelu on rajattu pääasiassa jakaumiin, joiden häntäfunktio on potenssifunktio, ja säännöllisesti vaihteleviin jakaumiin. Yksittäisten vahinkojen suuruuksien, vahinkojen lukumäärän ja kokonaisvahinkomäärän jakauman tunnistamista varten tutkielmassa on esitelty muutama estimaattori. Näitä käytetään lähinnä graafisessa muodossa. Menetelmiä on havainnollistettu soveltamalla niitä sekä tanskalaiseen palovakuutusdataan että sopivaan simuloituun dataan. Kaikkia menetelmiä on pyritty tarkastelemaan sekä positiivisten että negatiivisten ominaisuuksien näkökulmasta. Hill-estimaattoria on käsitelty muita perusteellisemmin ja sen osalta on esitetty tarkentuvuustulos. Tutkielmassa on myös esitetty tuloksia siitä, ettei paksuhäntäisyys katoa riippumattomassa tilanteessa: vahinkojen suuruuksien tai vahinkojen lukumäärän noudattaessa paksuhäntäistä jakaumaa, myös kokonaisvahinkomäärä noudattaa paksuhäntäistä jakaumaa ja jakaumista paksuhäntäisempi hallitsee kokonaisvahinkomäärän jakaumaa. Lopuksi on tarkasteltu neljää perinteistä jälleenvakuutussopimusta ja niihin liittyviä haasteita silloin, kun kokonaisvahinkomäärä on suuri. Tutkielman pääteoksena on toiminut Sidney I. Resnickin teos Heavy-Tail Phenomena: Probabilistic and Statistical Modeling (Springer, 2007)