New model order reduction methods for problems with a high number of parameters

Alors que la simulation numérique prend aujourd'hui une place essentielle dans de nombreuses branches de l'ingénierie, les évolutions incroyables des moyens de calculs peinent à compenser la complexité croissante des modèles que les ingénieurs sont amenés à traiter. Dans ce contexte, les modèles réduits sont de véritables outils d'aide à la décision car ils permettent, une fois construits, d'évaluer un très grand nombre de scénarios en temps quasi réel. En particulier, la méthode PGD (Proper Generalized Decomposition) initiée au LMT a connu de très nombreux développements (problèmes non linéaires, multiéchelles, multiphysiques...) et conduit à des gains en temps CPU pouvant atteindre plusieurs ordres de grandeur.Malheureusement, l'essor de ces modèles réduits est actuellement freiné par la difficulté à les calculer lorsque le nombre de paramètres à prendre en compte augmente. Toutes les techniques de réduction de modèles actuelles (PGD comprise) peinent à traiter des problèmes à très grand nombre de paramètres (la limite actuelle tourne autour de la vingtaine de paramètres), ce qui constitue un verrou scientifique majeur pour l'essor de ces techniques. Cette thèse présente une adaptation de la méthode PGD qui permet le traitement de tels problèmes.Trois contributions principales ont permis d'atteindre de telles performances. D'une part, une nouvelle structure de données plus proche de la physique du problème a été développée. Elle introduit deux échelles de représentation des fonctions paramétriques et donne son nom à la méthode : la Parameter-Multiscale PGD. Par ailleurs, une discrétisation spatiale discontinue particulièrement adaptée à nos méthodes de résolution a été implémentée, la WTDG (Weak Trefftz Discontinuous Galerkin). Enfin de nouveaux algorithmes ont été développés pour construire des modèles réduits qui permettent des gains de temps conséquents pour des problèmes ayant jusqu'à mille paramètres.Numerical simulation is nowadays a major tool in a large number of engineering fields. Nevertheless, even the recent incredible improvements of the computational power can hardly compensate the increasing complexity of the models used by engineers. In this context, Reduced Order Models (ROM) can be major decision-maker tools because, once they have been computed, they can be used to evaluate a very large number of test cases in a duration close to real time. The PGD (Proper Generalized Decomposition) in particular, is a method introduced at the LMT which has been adapted to many cases (non-linear problems, multiscale, multiphysics) and leads to savings of CPU time reaching several orders of magnitude.Unfortunately, it is currently difficult to build ROM with an increasing number of parameters. All the actual model reduction technics (including the PGD) can hardly solve problems with a high number of parameters (the current limit is about twenty parameters). It is a major barrier to a larger development of these methods. This PhD thesis presents a new methodology based on the PGD able to take into account high numbers of parameters.This goal has been achived thanks to three major contributions. First, a new data structure faithfull to mecanical properties of the problem has been developed. To that end, two different scales are introduced in the parametric space, giving its name to our method : Parameter-Multiscale PGD. Furthermore, the WTDG (Weak Treffz Discontinuous Galerkin) method has been inpemented. It is a discontinuous spatial discretisation adapted to our resolution techniques. Finally, new algorithms have been developed to built reduced order models of problems taking into account up to one thousand parameters