Existence et propriétés qualitatives des solutions de quelques problèmes elliptiques non-linéaires

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur l’existence et l’étude qualitative des solutions des équations aux dérivées partielles non linéaires, et tout particulièrement des solutions ayant une structure spatiale et temporelle bien définie, appelées suivant les cas ondes stationnaires, ondes progressives, ondes solitaires, ou de manière générale ondes non linéaires. Ces structures sont bien observées expérimentalement et numériquement, et très souvent jouent un rôle majeur dans la dynamique des systèmes correspondants. Les systèmes considérés sont des modèles concrets issus de la mécanique des fluides, de la superfluidité, de la superconductivité ou de la physique des transitions de phase. A titre d’exemples, on peut citer les très nombreux modèles représentant différentes approximations de la propagation des ondes à la surface libre d’un fluide (équations de Benjamin-Ono, de Kadomtsev-Petviashvili, ou de Benney-Luke). D’autre part, il convient de mentionner les différentes variantes de l’équation de Schrödinger non-linéaire (comme l’équation de Gross-Pitaevskii, l’équation de Hartree ou l’équation de Schrödinger avec nonlinéarité de type ”ψ3 − ψ5”) qui interviennent dans l’étude des condensats de Bose-Einstein, la supraconductivité et la superfluidit