Onde nonlineari, struttura tau e geometria delle varietà invarianti: il caso della gerarchia di Camassa-Holm

Responsabile del progetto: ABENDA Simonetta Collaboratori: DUBROVIN Boris (SISSA), RAGNISCO Orlando (Roma III), PEDRONI Marco (Genova), FALQUI Gregorio (SISSA), GRAVA Tamara (SISSA), LORENZONI Paolo (Milano Bicocca), MUSSO Fabio (Roma III) Descrizione: Una motivazione di base per la ricerca di modelli alternativi di onde nonlineari dispersive è dovuta al fatto che i modelli matematici tradizionali, quali l'equazione di Korteweg-de Vries (KdV) per la descrizione di onde gravitazionali nell'acqua, falliscono nel rappresentare fenomeni fisici fondamentali quali l'onda estrema di Stokes. Con tale intento R. Camassa e D. Holm (1993) hanno proposto una nuova hamiltoniana, formalmente integrabile attraverso il metodo dello scattering inverso. L'equazione di Camassa-Holm si ottiene come equazione delle onde in acqua bassa con tensione superficiale in un'espansione asintotica di un'ordine superiore all'approssimazione Korteweg-de Vries. L'equazione fortemente nonlineare così ottenuta ammette anche soluzioni continue, analitiche a tratti (peakons). A partire dal 1993, si è sviluppata una cospicua letteratura sulla gerarchia integrabile bi-hamiltoniana di Camassa-Holm (CH), ma molti quesiti fondamentali sono tuttora irrisolti. La difficoltà principale nello studio diretto della gerarchia è dovuto al fatto che le leggi di conservazione e le simmetrie sono non-locali mentre le equazioni associate alla gerarchia sono integro-differenziali. Inoltre, la gerarchia di CH non rientra nella classificazione assiomatica di Dubrovin-Zhang dei sistemi integrabili basata sulle varieta` di Frobenius. Uno dei principali problemi aperti è, infatti, se sia possibile trovare un modo di modificare uno degli assiomi di base della classificazione di Dubrovin e Zhang, per potervi includere la gerarchia CH. Tale assioma, cui qui ci riferiremo come "assioma tau", richiede l'esistenza di una funzione speciale (la funzione tau), che genera le densita` conservate del sistema, e che tale funzione soddisfi un opportuno sistema di vincoli, detti vincoli di Virasoro. La ragione della non esistenza di una struttura di tipo funzione tau per la gerarchia CH, dimostrata da Dubrovin e Zhang, puo' essere facilmente motivata studiando le proprietà analitiche delle soluzioni quasi-periodiche (algebro-geometriche). Tali soluzioni sono state classificate in una serie di lavori (ad esempio A. Constantin e H.P.McKean (1999) e M.S. Alber, R. Camassa, Yu.N. Fedorov, D. Holm e J.E. Marsden (2001)). Come nel caso KdV, le soluzioni quasiperiodiche sono esprimibili usando le funzioni theta iperellittiche. Tuttavia, a differenza del caso KdV, la dipendenza dalla variabile x nell'argomento è non lineare. Un fenomeno simile si riscontra nei sistemi finito dimensionali algebricamente integrabili con deficienza studiati per la prima volta da S. Abenda e Yu. N. Fedorov (2000). Piu' specificamente, si intende investigare i seguenti problemi: 1) Nel quadro del problema dell'assioma tau, si intende studiare la modulazione di soluzioni periodiche dell'equazione di Camassa-Holm e classificare le corrispondenti equazioni Whitham. In particolare, si intendono costruire gli invarianti di Riemann con il metodo WKB nonlineare e verificare l'esistenza o meno di un fascio di metriche piatte sulla varieta` R di tali invarianti di Riemann che, tramite un risultato ben noto di Dubrovin e Novikov, fornirebbero un fascio di strutture di Poisson locali sullo spazio del lacci a valori in R. Tale ricerca è strettamente legata alla verifica che le varietà invarianti associate a tale sistema integrabile siano di Frobenius. Ci si aspetta che questa verifica fornisca importanti indicazioni sulla conseguente modifica dell'assioma tau. 2) Studiare le proprietà dei flussi negativi associati alla gerarchia di Camassa-Holm. Nel lavoro originale di Camassa-Holm sono state determinate un numero bi-infinito di leggi di conservazione, ma solo quelle legate ai cosiddetti flussi positivi sono state studiate in l..