Quelques contributions à la sélection de variables, au clustering et à l’estimation statistique en grande dimension

This PhD thesis deals with the following statistical problems: Variable selection in high-Dimensional Linear Regression, Clustering in the Gaussian Mixture Model, Some effects of adaptivity under sparsity and Simulation of Gaussian processes.Under the sparsity assumption, variable selection corresponds to recovering the "small" set of significant variables. We study non-asymptotic properties of this problem in the high-dimensional linear regression. Moreover, we recover optimal necessary and sufficient conditions for variable selection in this model. We also study some effects of adaptation under sparsity. Namely, in the sparse vector model, we investigate, the changes in the estimation rates of some of the model parameters when the noise level or its nominal law are unknown.Clustering is a non-supervised machine learning task aiming to group observations that are close to each other in some sense. We study the problem of community detection in the Gaussian Mixture Model with two components, and characterize precisely the sharp separation between clusters in order to recover exactly the clusters. We also provide a fast polynomial time procedure achieving optimal recovery.Gaussian processes are extremely useful in practice, when it comes to model price fluctuations for instance. Nevertheless, their simulation is not easy in general. We propose and study a new rate-optimal series expansion to simulate a large class of Gaussian processes.Cette thèse traite les problèmes statistiques suivants : la sélection de variables dans le modèle de régression linéaire en grande dimension, le clustering dans le modèle de mélange Gaussien, quelques effets de l'adaptabilité sous l'hypothèse de parcimonie ainsi que la simulation des processus Gaussiens.Sous l'hypothèse de parcimonie, la sélection de variables correspond au recouvrement du "petit" ensemble de variables significatives. Nous étudions les propriétés non-asymptotiques de ce problème dans la régression linéaire en grande dimension. De plus, nous caractérisons les conditions optimales nécessaires et suffisantes pour la sélection de variables dans ce modèle. Nous étudions également certains effets de l'adaptation sous la même hypothèse. Dans le modèle à vecteur parcimonieux, nous analysons les changements dans les taux d'estimation de certains des paramètres du modèle lorsque le niveau de bruit ou sa loi nominale sont inconnus.Le clustering est une tâche d'apprentissage statistique non supervisée visant à regrouper des observations proches les unes des autres dans un certain sens. Nous étudions le problème de la détection de communautés dans le modèle de mélange Gaussien à deux composantes, et caractérisons précisément la séparation optimale entre les groupes afin de les recouvrir de façon exacte. Nous fournissons également une procédure en temps polynomial permettant un recouvrement optimal des communautés.Les processus Gaussiens sont extrêmement utiles dans la pratique, par exemple lorsqu'il s'agit de modéliser les fluctuations de prix. Néanmoins, leur simulation n'est pas facile en général. Nous proposons et étudions un nouveau développement en série à taux optimal pour simuler une grande classe de processus Gaussiens