[[alternative]]A supporting system for algebraic education

碩士[[abstract]]代數是中學數學中ㄧ門基礎且重要的課程，將電腦科技運用在代數教育，有助於數學教師引導學生的解題思路；但市面上之數學套裝軟體過於昂貴，功能也不完整。本論文依據教育部之數學課程標準，用Java語言實作出一套代數教學輔助函式庫，其中包含無限制位數的整數、有理數、根數、多項式及矩陣，並透過TwFC為輸出入介面。 本論文特別著重於根數的運算，尤其強調倒數運算時分母有理化的部份；我們提出的演算法，能成功地對複雜的根數完成運算。經過實驗證實：本系統的根數運算能力，在效率上大幅度優於Maple及一些著名的數學系統。[[abstract]]Algebra is a fundamental topic in junior mathematic course. In computer aided education on mathematics, it is helpful for a teacher to training student‘s thinking. However, most of the mathematic application programs are very expansive and with incomplete functions. In this paper, a supporting system for algebra is proposed and implemented in Java language. In accordance with syllabus from the Department of Education, R.O.C., topics including unbounded integers, rational numbers, radical numbers, polynomials and matrices are implemented. The package TwFC is introduced to the I/O interface of our system. This paper emphasizes the arithmetic ability of radical numbers, especially focusing on the operation of denominator rationalization while inverting a radical number. The proposed algorithm can successfully execute the inverting operation with simplification of radical numbers. According to the result of our experiments, the ability of our system is more efficient than Maple and other well-known applications.[[tableofcontents]]1. 緒論 1 1.1. 研究背景與動機 1 1.2. 相關研究 2 2. 架構與模型 10 2.1. 套件架構 10 2.2. 類別結構圖 11 3. 各種資料型態 12 3.1. 大整數與因數分解列 13 3.2. 大有理數與循環小數 15 3.3. 平方根數與根數 18 3.4. 單變數與多變數的多項式與分式 26 3.5. 有理數矩陣與根數矩陣 29 4. 根數倒數有理化 30 4.1. 單質基根數開質數次方的倒數有理化 30 4.1.1. 矩陣法與多項式法 30 4.1.2. 實驗比較 32 4.2. 單質基根數開質冪次方的倒數有理化 35 4.2.1. 質冪再分解法 35 4.2.2. 實驗比較 37 4.3. 單質基根數的倒數有理化 39 4.3.1. 質冪分解法 39 4.3.2. 實驗比較 41 4.3.3. 二項特殊處理 43 4.4. 多質基根數的倒數有理化 46 5. 結論與展望 52 5.1. 結論 52 5.2. 後續研究 52 參考文獻 53 附錄一 Binary Form 輸出入 55 附錄二 TextForm之輸入通則 58 附錄三 單質基根數實驗輸入 64 表目錄 表 1-1 教育部代數學課程標準整理 2 表 1-2 數學套裝軟體價目表 7 表 1-3 Java的原生數值型態列表 8 表 4-1 實作矩陣法與多項式法與Maple10求算時間比較 33 表 4-2 矩陣法與質冪再分解法之時間複雜度比較表 36 表 4-3 單質基根數開2e次方的倒數有理化實驗數據 37 表 4-4 單質基根數開3e次方的倒數有理化實驗數據 38 表 4-5 矩陣法與質冪分解法之比較之實驗數據 42 表 4-6 因數分解法與矩陣法之實驗比較 42 表 4-7 於因數分解法加入二項特殊處理前後比較 44 表 4-8 因數分解法與矩陣法於高次方根數之實驗比較 45 圖目錄 圖 1-1 Mathemetica數值最大表示值 4 圖 1-2 Mathemetica並未支援循環小數 5 圖 1-3 Mathemetica因數分解列表示方式 5 圖 1-4 Mathemetica不支援分母有理化 6 圖 1-5 Maple支援大整數 6 圖 1-6 Maple質因數分解表示式 6 圖 1-7 Maple支援根數有理化 7 圖 1-8 Maple根數分母有理化效率不佳之實例 7 圖 2-1 套件架構圖 10 圖 2-2 類別結構圖 11 圖 3-1 可變與不可變型態之繼承關係圖 12 圖 3-2 java.math.BigInteger的加法溢位處理實例 13 圖 3-3 java.math.BigInteger乘法leading zero處理實例 14 圖 3-4 大整數類別資料結構 14 圖 3-5 本文系統之ImuBigI/MuBigI乘法leading zero處理實例 14 圖 3-6 因數分解列類別資料結構 15 圖 3-7 大有理數類別資料結構 16 圖 3-8 循環小數類別資料結構 17 圖 3-9 平方根數整式資料結構實例 20 圖 3-10 平方根數整式加法運算之資料結構變更實例 20 圖 3-11 本文系統之平方根數倒數有理化演算法 21 圖 3-12 根數類別資料結構示意圖 23 圖 3-13 根數整式資料結構實例 23 圖 3-14 兩根數相加時資料結構擴張之實例 24 圖 3-15 兩根數相乘之實例 24 圖 3-16 根數安插新項的處理流程 25 圖 3-17 有理係數單變數多項式資料結構示意圖 26 圖 3-18 因式分解列資料結構 27 圖 3-19 多變數多項式資料結構示意圖 28 圖 4-1 根數倒數有理化演算法流程圖 31 圖 4-2 矩陣法與多項式法與Maple10求算時間折線圖 34 圖 4-3 質冪再拆解法示意圖 36 圖 4-4 質冪再分解法實例 37 圖 4-5 單質基根數開2e次方的倒數有理化比較折線圖 38 圖 4-6 開任意次方數單質基根數的倒數有理化實例示意圖 41 圖 4-7 因數分解法與矩陣法之實驗比較折線圖 43 圖 4-8 因數分解法與矩陣法以高次方根數實驗折線圖 46 圖 4-9 本文根數類別資料結構處理多基數根數實例 47 圖 4-10 挑選適當的集項單元的演算法 48 圖 4-11 以特定質基數求最佳開次方數的演算法流程圖 49 圖 4-12 多重質基根數倒數有理化流程圖 50[[note]]學號: 693520990, 學年度: 9