Raue stochastische Volatilitätsmodelle : Monte Carlo, Asymptoten und Deep Calibration

So-called rough stochastic volatility models constitute the latest advancement in option price modeling. In contrast to popular bivariate diffusion models such as Heston, here the driving noise of volatility is modeled by a fractional Brownian motion (fBM) with scaling in the rough regime of Hurst parameter H < 1/2. A major appeal of such models lies in their ability to parsimoniously recover key stylized facts of market IV surfaces such as the exploding power-law behaviour of the ATM volatility skew near zero, a crucial feature Markovian models fail to reproduce. On the flipside, as a consequence of fBM being neither a semimartingale nor a Markov process for H not equal to 1/2, most currently prevalent numerical pricing and calibration routines do not (easily) carry over to the rough setting. This thesis addresses this problem and contributes to the existing literature as follows. In chapter 2, we sharpen the large deviations results of Forde-Zhang (2017) in a way that allows us to zoom-in around the money while maintaining full analytical tractability. More precisely, this amounts to proving higher order moderate deviations (MD) estimates, only recently introduced in the option pricing context. In particular, we derive small-time asymptotic formulae for log call prices and Black-Scholes implied volatility. This in turn allows us to push the applicability range of known ATM skew approximation formulae from CLT type log-moneyness deviations of order t^1/2 to the wider MD regime. In chapter 3, we present a novel Monte Carlo (MC) pricing scheme for rough volatility models based on a Karhunen-Loève-style approximation of White Noise. This complements theoretical results by Bayer et al. (2017). Our numerical experiments confirm a theoretical strong rate of H for a central object of interest and indicate a weak rate of 2H for the option price. In chapter 4, we introduce a novel model calibration routine for (rough) stochastic volatility models dubbed deep calibration. Standard model calibration routines rely on the repetitive evaluation of the map from model parameters to Black-Scholes implied volatility, rendering calibration of many (rough) stochastic volatility models prohibitively expensive since often the map can only be approximated by costly MC simulations. As a remedy, we propose to combine the popular Levenberg-Marquardt optimization algorithm with neural network (NN) regression, replacing expensive MC simulations with cheap forward runs of a NN trained to approximate the implied volatility map. Numerical experiments confirm the high accuracy and speed of our approach.So genannte raue stochastische Volatilitätsmodelle (rSV) stellen die jüngste Weiterentwicklung der Optionspreismodellierung dar. Im Gegensatz zu bivariaten Diffusionsmodellen wie Heston wird das treibende Rauschen der Volatilität hier durch eine fraktionelle Brownsche Bewegung (fBB) modelliert, welche im rauen Regime mit Hurst index H < 0.5 skaliert. Mit nur wenigen Parametern können nun Kerneigenschaften von empirischen impliziten Volatilitätsoberflächen, wie z.B. das explodierende Potenzgesetzverhalten der ATM volatility skew für t → 0, abgebildet werden. Da die fBB für H ungleich 1/2 weder ein Semimartingal noch Markov ist, lassen sich gängige numerische Preis- und Kalibrierungsverfahren nicht (einfach) übertragen. Diese Arbeit setzt hier an und trägt auf folgende Weise zur Fachliteratur bei. In Kapitel 2 entwickeln wir die Large Deviations Ergebnisse von Forde und Zhang (2017) dahingehend weiter, dass wir am Geld nah heranzoomen, gleichzeitig aber die analytische Berechenbarkeit beibehalten. Genauer gesagt beweisen wir Abschätzungen höherer Ordnung im Kontext der Moderate Deviations (MD), welche erst kürzlich in die Optionsbewertung eingeführt wurden. Konkret leiten wir für kurze Maturitäten asymptotische Formeln für Log-Call-Preise und Implizite Volatilität her. Dies ermöglicht uns, den Anwendungsbereich bekannter ATM-Skew-Approximationsformeln von log- moneyness Abweichungen des CLT-Typs der Ordnung t^1/2 auf das breitere MD Regime zu erweitern. In Kapitel 3 stellen wir ein neuartiges Monte Carlo Verfahren zur Optionspreisbewertung bei rSV Modellen vor, das auf einer Karhunen-Loève-ähnlichen Näherung des Weißen Rauschens basiert. Dies ergänzt die theoretischen Ergebnisse von Bayer et al. (2017). Unsere numerischen Experimente bestätigen eine theoretische, starke Rate von H für ein zentrales Objekt von Interesse und zeigen eine schwache Rate von 2H für den Optionspreis. In Kapitel 4 entwickeln wir ein schnelles Kalibrierungsverfahren für rSV Modelle basierend auf Neuralen Netzwerken (NN). Die Funktion, welche Input Parametern eine Implizite Volatilität zuweist, lässt sich im Kontext von rSV Modellen meist nur durch teure MC Simulationen approximieren. Wir lassen ein NN diese Funktion erlernen, sodass deren Auswertung einem schnellen und günstigen Vorwärtslauf des NN entspricht. Durch eine Kombination mit dem beliebten Levenberg-Marquardt Algorithmus, der die wiederholte Evaluation dieser Funktion bedingt, lassen sich nun beliebige rSV Modelle schnell und genau kalibrieren, wie verschiedene numerische Experimente belegen.DFG, 275035933, Raue stochastischer Volatilität und verwandten Theme