Äärellisulotteinen projektiivinen avaruus ja sen duaaliavaruus

Tämä työ käsittelee projektiivista avaruutta ja projektiivisen geometrian duaalisuusperiaatetta. Aihetta lähestytään lineaarialgebran kautta ja projektiivinen avaruus määritellään yksiulotteisten vektorialiavaruuksien joukkona. Duaalisuusperiaatteen mukaan jokaisesta projektiivisen geometrian lauseesta, joka ilmaisee n-ulotteisen projektiivisen avaruuden aliavaruuksien välisiä sisältyvyyksiä, yhtäsuuruuksia tai epäsuuruuksia, voidaan muotoilla uusi lause kääntämällä lauseessa esiintyvät sisältyvyydet ja muuttamalla jokaisen m-ulotteisen aliavaruuden dimensioksi n-m-1. Näytämme, miksi duaalisuusperiaate on voimassa. Tätä varten määritellään duaalinen projektiivinen avaruus lineaaristen funktionaalien muodostaman vektoriavaruuden avulla. Duaalisuusperiaatteen lisäksi työssä käydään läpi projektiivisen geometrian peruskäsitteitä, kuten projektiivinen piste ja suora. Esitämme pisteet homogeenisilla koordinaateilla. Huomaamme, että toisin kuin euklidisessa geometriassa, pisteet voivat “sijaita äärettömyydessä” ja kahdella suoralla on aina leikkauspiste. Lisäksi määritellään projektiiviset lineaarikuvaukset ja näytetään, että pisteiden kollineaarisuus, suorien konkurrenssi sekä neljän pisteen kaksoissuhde säilyvät näissä kuvauksissa. Kartioleikkaus ja toisen asteen pinta saavat määritelmän symmetristen bilineaaristen muotojen avulla. Paraabeli, ellipsi ja hyperbeli näytetään projektiivisesti ekvivalentteiksi reaalilukujen yli määritellyllä projektiivisella tasolla. Toisin sanoen paraabeli, ellipsi ja hyperbeli ovat projektiivisessa mielessä samoja. Lopuksi laajennetaan duaalisuusperiaate koskemaan toisen asteen pintoja ja kartioleikkauksia sekä esitetään, miten Brianchonin lause voidaan johtaa Pascalin lauseesta duaalisuusperiaatteella