Numerical and affine semigroups

En este trabajo, estudiamos los resultados más destacables sobre semigrupos conmutativos, con el objetivo de analizar dos cuestiones que lo involucran, abiertas actualmente: la conjetura de Wilf para semigrupos numéricos y la caracterización geométrica de semigrupos afines proporcionalmente modulares. Comenzamos el trabajo recopilando e ilustrando diversas hipótesis bajo las cuales se satisface dicha conjetura, presentes en distintos artículos de investigación. Dado un semigrupo numérico S, la conjetura de Wilf se expresa por n(S)e(S) ≤ F(S) + 1, donde n(S) es el número de sus elementos menores que su número de Frobenius, F(S), y e(S) es su dimensión de inmersión. Continuamos indagando en el estudio geométrico de los semigrupos afines proporcionalmente modulares, definidos como el conjunto de soluciones enteras no negativas de una desigualdad del tipo f1x1 + ... + fnxn mod b ≤ g1x1 + ... + gnxn, con f1,...,fn; g1,...,gn ∈ Z y b ∈ N*. En concreto, damos una caracterización geométrica para algunos semigrupos en dos dimensiones de tales características, aportando diversos algoritmos para determinarlos. Esto último es parte de un trabajo conjunto con los profesores J. I. García-García, A. Sánchez-R.-Navarro y A. Vigneron-Tenorio.In this work, we study the most outstanding results about commutative semigroups, with the objective of analyzing two issues that involve it, that are currently open: Wilf’s conjecture for numerical semigroups and the geometrical characterization of proportionally modular affine semigroups. We collect and illustrate various hypotheses under which this conjecture is satisfied, presented in different research papers. Given a numerical semigroup S, Wilf’s conjecture is expressed by n(S)e(S) ≤ F(S)+1, where n(S) is the number of its smaller elements than its Frobenius number, F(S), and e(S) is its embedding dimension. We investigate in the geometric study of the proportionally modular affine semigroups, defined as the set of nonnegative integer solutions of an inequality of the form f1x1 + ... + fnxn mod b ≤ g1x1 + ... + gnxn, with f1,..., fn, g1,...,gn ∈ Z and b ∈ N*. Specifically, we give a geometric characterization for some semigroups in two dimensions of such characteristics, providing various algorithms to determine them. This is a part of a joint work with the professors J. I. García-García, A. Sánchez-R.-Navarro, and A. Vigneron-Tenorio