Treillis de Cayley des groupes de Coxeter finis. Constructions par récurrence et décompositions sur des quotients

This article, dedicated to André Lentin on the occasionof the meeting (23/02/1996) organized in his honor, aims to show the the labelled lattice obtained from the weak order on a finite Coxeter system (W,S) as welle as the group itself can be constructed stating from an arbitrary parabolic subgroupe WJ, the associated quotient WJ and a function from WJ x J to S U . This method permits to recursive construction of groups and latices inthe four infinite families of irreducible finite Coxter groups : the reverse procedure leads to a reduction algorithm for expressions of elements of the group as products of generatorsCet article, offert à André Lentin lors du colloque du 23 février 1996 organisé en son honneur, a pour objet de montrer que le treillis étiqueté obtenu à partir de l'ordre faible sur un Coxeter fini (W,S), et le groupe lui-même peuvent être construits à partir d'un sous-groupe parabolique quelconque Wj, du quotient associé Wj et d'une fonction de Wj x Wj dans S appartenant à l'ensemble vide. Cette méthode permet en particulier la construction par récurrence des groupes et treillis des quatre familles infinies de Coxeter finis irréductibles et la procédure inverse, la réduction de toute décomposition des éléments du groupe