H. G. Grassmann et l’introduction d’une nouvelle discipline mathématique : l’Ausdehnungslehre

Grassmann n’est pas le premier à créer un nouveau calcul :Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, et bien d’autres l’ont précédé dans cette voie qui témoigne de toute l’importance des mutations subies par l’algèbre et de l’évolution des rapports complexes entretenus entre ce domaine et son « exacte contrepartie » la Géométrie euclidienne : à l’heure où s’élaborent les premières « structures » et les « morphismes », la géométrie euclidienne perd son statut de « critère de vérité » et d’« existence » des entités algébriques, notamment dénoncé par un prétendu « retour à la rigueur ».L’introduction « philosophique », décriée par ses contemporains ne voyant là que « fausse philosophie », ne pouvait être impunément écartée : la « seconde » Ausdehnungslehre de 1862 (A2) — pourtant proposée telle une nouvelle version rédigée conformément au style « souhaité » par son époque — ne conviendra pas plus à ses trop rares lecteurs. Tout lecteur averti reconnaît que A2ne peut être parfaitement entendu sans les nécessaires éclaircissements de A1.Trois points nous paraissent aujourd’hui significatifs :– L’Ausdehnungslehre est une science formelle qui trouve sa place dans le système mathématique de Grassmann. Ce système « améliore » celui déjà classique (notamment connu du père de Grassmann) qui résulte du croisement entre les deux contrastes fluants « continu/discret » et « distinct/égal ».– L’Ausdehnungslehre admet la géométrie comme première « application » remarquable. La géométrie [Geometrie] (ou encore la théorie de l’espace [Raumlehre]) est devenue une science réelle (l’espace préexiste), elle ne peut donc légitimement figurer au sein de la mathématique pure.– Une partie précède la séparation en les quatre branches précédentes de la mathématique pure (ou théorie des formes). La théorie générale des formes présente leurs lois communes, soit cette série de vérités qui, de la même manière se rapportent à toutes les branches des mathématiques et qui ne supposent donc que les concepts généraux d égalité, de diversité, de liaison et de séparation.Grassmann is not the first to create a new calculus : Möbius, Hamilton, Bellavitis, Cauchy, and many others preceded him in this way which shows all the importance of the changes undergone by the algebra and the evolution of complex connections maintained between this field and its “exact counterpart” the Euclidean Geometry: meanwhile the first “structures” and “morphisms” are worked out, the Euclidean geometry loses its statute of “criterion of truth” and “existence” of the algebraic entities, particularly denounced by an alleged “return to rigour”.The “philosophical” introduction, denigrated by contemporaries seeing there only “false philosophy”, could not be removed with complete impunity: the “second” Ausdehnungslehre published in 1862 (A2) — howeverproposed as a new version written in accordance with the style “desired” by its time — will not be more convenient for its too few readers. Any informed reader recognizes that A2cannot be perfectly known without the necessary explanations of A1.Three observations appear significant to us :– Ausdehnungslehre is a formal science which finds its place in the mathematical system of Grassmann. This system “improves” the already traditional one (in particular known of the father of Grassmann) resulting from the crossing between two changing Contrasts, “continuous/discrete” and “distinct/equal”.– Ausdehnungslehre admits geometry as first remarkable “application”. Geometry [Geometrie] (or theory of space [Raumlehre ]), became a real science (space preexists), cannot thus legitimately appear within pure mathematics.– A part precedes the separation into the four branches of pure mathematics (or theory of forms). The general theory of forms presents their common laws, that is to say that series of truths which, in the same way refer to all branches mathematics and which thus supposes only the general concepts of equality, diversity, connection and separation