Modélisation continue de la rhéologie des suspensions et de la migration

Suspensions which are heterogeneous continuous media composed by a solid granular phaseand a liquid phase present many applications from natural and industrial sciences.Modelling the phenomenon involved in those applications suggests studyingvery complex cases whereas the simplest one present non trivial behaviour that are notperfectly understood. This is why we put forward some progresses in the understanding ofa reference material, mono-disperse suspension of hard spheres. Firstly we compute averagedversions of conservation laws at the scale of the grain. Hence we get continuous quantities atthe scale of an elementary reference volume and it allows us to revisit mathematical buildingof continuous biphasic models. Hence, we provide a system of continuous conservation laws.Nevertheless, we have to add several hypothesis to get a well posedmathematical problem from our system. With that mind, we choose to focus on non-colloidalsuspensions with a Newtonian suspending fluid. Thus, we propose a new rheological modelincluding a texture tensor which is an ancillary variable modelling the average deformationof the local cages formed by neighbouring particles. Hence, we can quantitatively reproducetwo effects that have been experimentally measured. The first one is about the anisotropy ofthe microstructure in a sheared suspension, measured by the averaged pair distribution function.The second one is the evolution of apparent viscosity that drops brutally before relaxing to asteady state during a shear-reversal experiment. This first model provides a link between twocontinuous quantities, the averaged pair distribution function and the apparent viscosity.However, it reproduces badly the evolution of some macroscopic quantities, the normal stressdifferences. This is why we extend our first model, improving those bad predictions. On largertime scales, it has been observed that the particles do not follow strictly the flow lines,for instance, they leave sheared zones. This phenomenon is called migration. Our extendedrheological model allows to enhance migration phenomenon predictions because normal stressdifferences play a crucial role in granular phase motion. In that mind, we integrate ournew rheology in the system of conservation laws that we stated in the beginning, then, weprocess it into a new mathematical problem.We put forward a system including both a bulk velocity and a granular phase one.We introduce an unilateral constraint in order to model the inelastic contact interactionbetween two rigid spheres at the macroscopic level. It constitutes the originality of ourproposal. Finally, we get a problem that interprets as two coupled sub-problems.The first one is like a visco-elastic fluid model and the second one is a compressiblecongested viscous system, like those used to modelcrowd motions.Les suspensions qui sont des milieux continus hétérogènes composés d'une phasesolide granulaire et d'une phase liquide, présentent de nombreuses applicationsaux sciences naturelles ou industrielles. La modélisation des phénomènes mis enjeu dans ces applications suggère d'étudier des cas très complexesalors que les cas les plus simples présentent des comportements non-triviauxqui ne sont pas parfaitement compris. C'est pourquoi nous proposons ici des avancées surla modélisation de matériaux modèles, les suspensions de sphères dures mono-disperses.Nous revisitons d'abord la formalisation mathématique du lien entre les modèlescontinus diphasiques et les lois de conservation à l'échelle d'un grain enmoyennant celles-ci sur des volumes élémentaires de référence. Ainsi, nousconstruisons un système de lois de conservation continues. Cependant, ce systèmene peut être résolu numériquement sans l'adjonction de plusieurs hypothèses,nous choisissons alors de nous restreindre aux suspensions non-colloïdalesdans un fluide newtonien. Ainsi, nous proposons un nouveau modèle rhéologiqueintégrant un tenseur de texture, une variable auxiliaire permettant de représenterla déformation du réseau de voisins de chaque particule. Cela nous permetde reproduire quantitativement deux effets mis en évidence par des expériencesde laboratoire. Le premier concerne l'anisotropie que présente la micro-structured'une suspension cisaillée, mesurée par une fonction de distribution de pairesmoyenne. Le second est observé lors d'une inversion brutale de cisaillement,la viscosité apparente de la suspension baisse très rapidement avant de relaxervers un état stationnaire. Ce premier modèle donne un lien au niveau continu entrel'évolution du profil de la fonction de distribution de paires moyenne et l'évolutiond'une quantité macroscopique, la viscosité apparente. Cependant, il ne reproduitpas correctement l'évolution d'autres quantités macroscopiques comme les différencesde contraintes normales. Afin de corriger cela, nous en proposons une extension.Ce nouveau modèle permet d'envisager la modélisation de phénomènes mettant enjeu les différences de contraintes normales et se déroulant sur des échellesde temps plus longues. Ainsi, nous ouvrons la perspective d'améliorer la prédictiondes phénomènes de migration qui se traduisent par le fait que les particules nesuivent pas exactement les lignes de courant, par exemple celles-ci fuientles zones les plus cisaillées. En effet, les différences de contraintes normalesjouent un rôle important dans la dynamique de la phase granulaire. Cela suggèred'intégrer notre nouvelle rhéologie dans le système de lois de conservation quenous avions proposé. Nous transformons ensuite ce système en un problème intégrant deux vitesses,celle du mélange et celle de la phase granulaire. L'originalité de notre contributionréside dans l'introduction d'une contrainte unilatérale dans un modèle de suspension.Cela permet de modéliser au niveau continu le contact entre deux sphèresdures qui ne peuvent pas s'inter-pénétrer. Nous obtenons un problème pouvant s'interprétercomme un couplage entre deux sous-systèmes. Le premier sous-système ressemble à un modèle defluide visco-élastique, le second est un système compressible visqueux congestionné,comme ceux utilisés pour modéliser des mouvements de foule