Estimation of risk-neutral density function: an application to S&P 500 index options

Dissertação de Mestrado em Métodos Quantitativos em Finanças apresentada à Faculdade de Ciências e TecnologiaCom esta dissertação pretende-se estudar e implementar vários métodos de estimação de funções densidade de probabilidade neutras face ao risco, identificando as perspectivas dos investidores quanto à evolução do mercado. Assim, este trabalho incide sobre preços teóricos de opções europeias, gerados pelo modelo de Black-Scholes, e sobre preços de mercado de opções do mesmo estilo sobre o índice S&P 500, transacionadas no Chicago Board Options Exchange (CBOE) e relativas ao dia 4 de janeiro de 2016 para diferentes maturidades.Inicialmente consideraram-se preços teóricos, gerados pelo modelo de Black-Scholes, e compararam-se, através da análise gráfica e do cálculo do root mean square error (RMSE), com os preços estimados por diferentes métodos. Os métodos utilizados neste estudo foram a mistura de duas distribuições lognormais, a expansão de Edgeworth e o método da volatilidade implícita proposto por Shimko. Seguidamente, estimaram-se os parâmetros relativos aos diferentes métodos e através deles produziram-se as funções densidade de probabilidade neutras face ao risco. Após esta estimação, efetuou-se a análise das perspectivas de mercado, utilizando opções sobre o índice S&P 500 para sete maturidades diferentes. Deste modo, compararam-se os preços das opções de mercado com os preços estimados pelo modelo de Black-Scholes, pela mistura de duas distribuições lognormais, pela expansão de Edgeworth e pelo método da volatilidade implícita proposto por Shimko. De seguida, estimaram-se os parâmetros dos diferentes métodos e, através destes, produziram-se as funções densidade de probabilidade neutras face ao risco. Por fim, analisaram-se algumas variáveis estatísticas das funções densidade de probabilidade obtidas, tais como a média, a variância, o coeficiente de assimetria e o excesso de curtose, de modo a retirar conclusões acerca das expectativas dos investidores em relação à evolução do mercado.This dissertation intends to study and implement several methods of estimating risk-neutral probability density functions, identifying investors' perspectives on market evolution. Thus, this work focuses on the theoretical prices of European options, generated by the Black-Scholes model, and on market prices of similar options on the S& P 500 index, relative to January 4, 2016 for different maturities, which are traded on the Chicago Board Options Exchange (CBOE).Initially, theoretical prices, generated by the Black-Scholes model, were compared, using the graphical analysis and the calculation of the root mean square error (RMSE), with the prices estimated by different methods. The methods used in this study are a mixture of two lognormal distributions, an Edgeworth expansion and the implicit volatility method proposed by Shimko. Then, the parameters related to different methods were estimated and through them, risk-neutral probability density functions are produced. After this estimation, a market outlook analysis was performed using S&P 500 index options for seven different maturities. The market option prices were then compared with the prices estimated by the Black-Scholes model, the combination of two lognormal distributions, the Edgeworth expansion and the implicit volatility method proposed by Shimko. Afterwards, the parameters of the different methods are estimated and, through these parameters, risk-neutral probability density functions were produced. Finally, some statistical variables of the probability density functions obtained were analyzed, such as the mean, the variance, the asymmetry coefficient and the excess kurtosis, in order to draw conclusions about the investors' expectations regarding market development