Autres approches de l'intégrale généralisée de Riemann

Ce travail est consacré à la théorie de l'intégration. A l'aide de l'approche initiée par J. Kurzweil et R. Henstock, basée sur la notion de jauge, et de l'approche initiée par R.S. Phillips, basée sur la notion de séries approximativement sommables relativement à un voisinage U de zéro, on définit une intégrale de fonctions définies sur un intervalle quelconque de R et à valeurs dans un espace localement convexe. Différentes propriétés de cette intégrale ainsi que les liens avec d'autres intégrales connues sont étudiées, et des théorèmes de convergence, dont un théorème de convergence dominée, sont établis. Comme application à cette nouvelle théorie d'intégration, nous étudierons le problème de Cauchy sous des conditions faibles de Carathéodory. La notion de jauge et de séries approximativement sommables relativement à un voisinage de zéro seront aussi exploitées pour définir une intégrale stochastique qui a le mérite de ne pas être limitée aux seuls intervalles bornés et qui, contrairement à l'intégrale d'Ito, repose sur des méthodes constructives. Enfin, en exigeant certaines régularités dans les divisions étiquetées, qui vont être finies cette fois-ci, nous définirons une intégrale sur les intervalles de Rn, qui est additive et qui intègre la divergence de tout champ différentiable