A Universal Homogeneous Simple Matroid of Rank 3

We construct a ∧-homogeneous universal simple matroid of rank 3, i.e. a countable simple rank 3 matroid M* which ∧-embeds every finite simple rank 3 matroid, and such that every isomorphism between finite ∧-subgeometries of M* extends to an automorphism of M*. We also construct a ∧-homogeneous matroid M* (P) which is universal for the class of finite simple rank 3 matroids omitting a given finite projective plane P. We then prove that these structures are not ℵ0-categorical, they have the independence property, they admit a stationary independence relation, and that their automorphism group embeds the symmetric group Sym(ω). Finally, we use the free projective extension F(M*) of M* to conclude the existence of a countable projective plane embedding all the finite simple matroids of rank 3 and whose automorphism group contains Sym(ω), in fact we show that Aut(F(M*)) ≅ Aut(M*).Construimos una matroide ∧-homogénea universal de rango 3, i.e. una matroide M* contable simple de rango 3 en el que que se ∧-sumerge toda matroide finita simple de rango 3, y tal que todo isomorfismo entre ∧-subgeometrías finitas de M* se extienden a un automorfismo de M*. Construimos además una matroide M* (P) ∧-homogénea que es universal para la clase de las matroides finitas simples de rango 3 que omiten un plano proyecto finito P dado. Entonces demostramos que estas estructuras no son ℵ0-categóricas, tienen la propiedad de independencia y admiten una relación de independencia estacionaria, y que su grupo de automorfismos sumerge el grupo de simetrías Sym(ω). Finalmente, usamos la extensión productiva libre F(M*) de M* para concluir la existencia de un plano proyecto contable que sumerge todas las matroides finitas simples de rango 3 y cuyo grupo de automorfismos contiene Sym(ω), de hecho demostramos que Aut(F(M*)) ≅ Aut(M*)