Applications of Computational Algebraic Topology

In this note a course given at the "UN Encuentro de Matemáticas 2016" held in Bogotá (Colombia) is described. The course was divided into four parts, devoted, respectively, to basic denitions in Algebraic Topology, to the algorithmic aspects of Topology, to the Kenzo computer system and, finally, to the applications of Computational Algebraic Topology. In the first talk the basic concepts of Algebraic Topology were presented, stressing the importance of replacing the topological space notion by other combinatorial analogues, easing the introduction of homological techniques. In the second talk, we reviewed several algorithms devised to compute homological objects. In the third talk, we described the Kenzo program, using its new version accessible via Internet. In the last talk, persistent homology was introduced and an actual application of topology to image processing was presented, in the frame of a project related to the fight against neurodegenerative diseases, as Alzheimer.En este texto describimos un curso impartido en el congreso \UN Encuentro de Matemáticas 2016" que tuvo lugar en Bogotá (Colombia). El curso fue dividido en cuatro partes. En la primera se presentaron defniciones básicas de la Topología Algebraica. La segunda parte estuvo dedicada a los aspectos algorítmicos de la Topología, y en la tercera se habló del sistema de cálculo por computador Kenzo. La última parte trató sobre las aplicaciones de la Topología Algebraica Computacional. El curso comenzó recordando la importancia de reemplazar la noción de espacio topológico por otras combina- toriales, que facilitan la introducción de técnicas homológicas. Más adelante se presentaron algoritmos para calcular la homología, y se explicó cómo esos al- goritmos están implementados en el sistema Kenzo. Por último, introdujimos la homología persistente, y explicamos una aplicación real de la topología para el procesamiento de imágenes digitales, en el marco de un proyecto dedicado a la lucha contra enfermedades neurodegenerativas, como el Alzheimer