Openness of the induced map Cn (f)

Given a map between compact metric spaces f : X ! Y , it is possible to induce a map between the n{fold hyperspaces Cn(f) : Cn(X) ! Cn(Y ) for each positive integer n. Let A and B be classes of maps. A general problem is to nd the interrelations between the following two statements: 1. f 2 A; 2. Cn(f) 2 B. It is known that 1 and 2 are equivalent conditions if both A and B are the class of homeomorphisms. If A and B are the class of open maps, then the openness of Cn(f) implies the openness of f. Furthermore, there exists an open map f such that Cn(f) is not open. Moreover, if Cn(f) is open and n 3, then f is both open and monotone. Our main result is Theorem 3.2, where we prove that if the induced map Cn(f) is an open map, for n 2, then f is a homeomorphism.Dada una funcion continua entre espacios metricos compactos f : X ! Y , es posible de nir la funcion inducida entre los hiperespacios de dimension n Cn(f) : Cn(X) ! Cn(Y ) para cada entero positivo n. Sean A y B clases de funciones continuas. Un problema general es encontrar las relaciones entre las siguientes dos a rmaciones: 1. f 2 A; 2. Cn(f) 2 B. Se sabe que 1 y 2 son condiciones equivalentes si A y B son la clase de homeomor smos. Si A y B son la clase de funciones abiertas, entonces 2 implica 1. Ademas, existe una funcion abierta f tal que Cn(f) no es abierta. Ademas, si Cn(f) es abierta y n 3, entonces f es abierta y monotona. Nuestro principal resultado es el Teorema 3.2, en el cual se demuestra que si la funcion inducida Cn(f) es abierta para algun n 2, entonces f es un homeomor smo