High-order methods in fully general-relativistic hydrodynamics & magnetohydrodynamics

This thesis is a summary of existing and upcoming publications, with a focus on high order methods in numerical relativity and general relativistic flows. The text is structed in five chapters. In the first three ones, the ADER-DG technique and its application to the Einstein-Euler equations is introduced. Novel formulations for both the Einstein equations in the 3+1 split as well as the general relativistic magnetohydrodynamics (GRMHD) had to be derived. The first order conformal and covariant Z4 formulation of Einstein equations (FO-CCZ4) is proposed and proven to be strongly hyperbolic. Together with the fluid equations of general relativistic magnetohydodynamics (GRMHD), a number of benchmark scenarios is presented to show both the correctness of the PDEs as well as the applicability of the numerical scheme. As an application in astrophysics, a general-relativistic study of the treshold mass for a prompt-collapse of a binary neutron star merger with realistic nuclear equation of states has been carried out. A nonlinear universal relation between the treshold mass and the maximum compactness is found. Furthermore, by taking recent measurements of GW170817 into account, lower limits on the stellar radii for any mass can be given. Furthermore, an (unpaired) work in quantum mechanical black hole engineering is presented. Higher dimensional extensions of generalized Heisenberg’s uncertainty principle (GUP) are studied. A number of new phenomenology is found, such as the existence of a conical singularity which mimics the effect of a gravitational monopole on short scale and that of a Schwarzschild black hole at a large scale, as well as oscillating Hawking temperatures which we call "lighthouse effect". All results are consistent with the self complete paradigm and a cold evaporation endpoint remnant.Schwarze Löcher und Gravitationswellen gehören zu den faszinierenden Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie. Schwarze Löcher gibt es auf fast jeder Längenskala und seit einigen Jahren gibt es mehr und mehr Möglichkeiten, sie zu messen. Das Laser-Interferometer-Gravitationswellen-Observatorium (LIGO) konnte 2016 zum ersten Mal Gravitationswellen direkt beobachten, die durch den Kollaps zweier stellarer schwarzer Löcher entstanden sind. Kurze Zeit später wurden die Gravitationswellen von der Verschmelzung zweier Neutronensterne gemessen. Das Signal bekam den Namen GW170817. Neutronensterne gehören zu den kompaktesten astrophysikalischen Objekten, mit einer Ausdehnung von wenigen Kilometern und einer mit der Sonne vergleichbaren Masse. Die zentrale Massendichte in Neutronensternen erreicht ein Vielfaches der nuklearen Sättigungsdichte. Damit sind Neutronensterne ein Ort, in dem sich extrem heiße und kompakte Materie findet. Dank der neuen Ära der Multimessenger-Astronomie können erstmals präzise Aussagen über die Beschaffenheit dieser Sterne gemacht werden. Eine zentrale Rolle spielt dabei die computerbasierte Lösung von Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie (ART). Die numerische Relativitätstheorie ist ein junges Feld. Erst vor 15 Jahren wurde mittels der Punktierungsmethode der Durchbruch beim Zweikörperproblem der ART erlangt. Seitdem gab es gewaltige Fortschritte, die unter anderem den stetig verbesserter Anfangs-Randwertproblem-Formulierungen der ARt zuzuschreiben sind. Darüberhinaus profitiert die numerische Relativitätstheorie von zunehmend besser konvergierenden numerischen Methoden, welche allgemein unter dem englischen Stichwort "high order methods" zusammengefasst werden. Im Rahmen dieser Dissertation werden die neuartigen sogenannten diskontinuierlichen Galerkin-Verfahren in einem ebenfalls neuartigen adaptiven Gitterverfeinerungscode auf astrophysikalische Probleme angwandt. Dabei handelt es sich um generische Verfahren, um gekoppelte Systeme von hyperbolischen partiellen Differentialgleichungen (PDG) zu lösen. Um nicht an Unstetigkeitsstellen, etwa in der Materie-Verteilung oder Singularitäten der Raumzeit, zu begegnen, fällt das Schema als Prädiktor-Korrektor-Verfahren auf ein klassisches robustes Finite Volumen-Verfahren zurück. Ein weiterer Gegenstand dieser Arbeit ist die Herleitung einer neuen Formulierung der Einsteingleichungen im (3+1)-Split der Raumzeit, die nur Ableitungen erster Ordnung in Zeit und Raum aufweist. Es kann gezeigt werden, dass das System aus 59 gekoppelten nichtlinearen PDGs streng hyperbolisch ist und damit für eine numerische Zeitentwicklung sehr gut geeignet. Zur Demonstration der Korrektheit der Formulierung sowie ihrer Lösbarkeit mit den dargestellten numerischen Schemata werden einige Standardtests der numerischen Relativitätstheorie erfolgreich demonstriert. Zur Beschreibung der Materie in astrophysikalischen Raumzeiten wurden in einem weiteren Projekt die Gleichungen der allgemein relativistischen Magnetohydrodynamik (engl. GRMHD, für "general relativistic magnetohydrodynamics") an die benötigte Formulierung angepasst. Mit den Gleichungen der GRMHD lassen sich eine Vielzahl astrophysikalischer Phänomene beschreiben, etwa Jets, Pulsare und Gammastrahlenblitze. In Benchmarks wird die Formulierung auf stationären Raumzeiten (Cowling-Näherung) getestet. Ein viertes Projekt ist eine Anwendung der vorangegangenen Techniken, also der numerischen Zeitintegration des gekoppelten Einstein-Euler-Systems. Dabei wird das Szenario eines "verzögerten Kollapses" bei der Vereinigung zweier Neutronensterne untersucht. Es werden quantitative Kriterien entwickelt, um einen sofortigen Kollaps zu einem schwarzen Loch von der Entstehung eines metastabilen hypermassiven Neutronensternes zu unterscheiden. Dazu wird eine Parameterstudie durchgeführt, bei der für eine Vielzahl an realistischen nuklearen Zustandsgleichungen eine Menge an Anfangswertprobleme gebildet werden, die sich durch die Masse ihrer Konstituenten unterscheiden. Bei der Untersuchung stellte sich heraus, dass die dynamische Eichfixierung dank ihrer Eigenschaft, die Koordinaten aus dem Gravitationspotential herauszutreiben, am besten dafür geeignet ist, den Zeitpunkt der Verschmelzung und des Kollapses zu definieren. Als Ergebnis kann ein nichtlinearer Zusammenhang zwischen Zustandsgleichungen und Überlebenszeit hergestellt werden. Mithilfe von Messwerten von GW170817 kann ferner eine die minimal mögliche Ausdehnung eines Neutronensternes ermittelt werden, diese untere Radius-Schranke beträgt R >= 9.74(+- 0.1)km. Als letztes Projekt ist dieser Monographie ein Projekt aus dem Bereich der Quantengravitation beigelegt. Es handelt sich dabei um die Modellierung von schwarzen Mikro-Löchern mittels einer stringtheoretisch motivierten impulsabhängigen Modifikation der heisenbergschen Unschärferelation. Die neuen Kommutatorrelationen sorgen für exakte Impulsoperatoren auf Kosten einer minimalen Länge im Ortsraum. Im Rahmen der Dissertation wurden mögliche Erweiterungen der Theorie auf große Extradimensionen untersucht. Zwei Erweiterungen stechen dabei heraus: Eine, welche in (4+1)-dimensionaler Raumzeit eine konische Singularität aufweist, ist die erste exakte Lösung einer Raumzeit, welche auf kurzen Skalen wie ein gravitativer Monopol aussieht und auf großen Skalen wie ein schwarzes Loch. Eine weitere modifizierte Unschärferelation wiederum reproduziert in jeder Dimension die gleiche Impulsraum-Regularisierung, verfügt darüber hinaus aber über einen neuen komplexeren thermodynamischen Zustandsraum. Dabei handelt es sich um das Phänomen, dass das schwarze Loch kurz vor seiner Verdampfung auf der Planck-Skala Temperaturoszillationen aufweist, welche mit wiederholten Phasenübergängen zwischen negativer und positiver Wärmekapazität einhergehen. Die damit verbundene stetig veränderte Luminosität prägt den Begriff "Leuchtturm-Effekt"