Autour des ondes progressives minimisantes radiales de l'équation de Schrödinger sur le groupe de Heisenberg

We consider radial solutions to the cubic Schrödinger equation on the Heisenberg group$$i\partial_t u - \Delta_{\mathbb{H}^1} u = |u|^2u, \quad\Delta_{\mathbb{H}^1} = \frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2) + (x^2+y^2)\partial_s^2, \quad(t,x,y,s) \in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1.$$This equation is a model for totally non-dispersive evolution equations. We show existence of ground state traveling waves with speed $\beta \in (-1,1)$. When the speed $\beta$ is sufficiently close to $1$, we prove their uniqueness up to symmetries and their smoothness along the parameter $\beta$. The main ingredient is the emergence of a limiting system as $\beta$ tends to the limit $1$, for which we establish linear stability of the ground state traveling wave.Nous nous intéressons aux solutions radiales de l'équation de Schrödinger cubique sur le groupe de Heisenberg$$i\partial_t u - \Delta_{\mathbb{H}^1} u = |u|^2u, \quad\Delta_{\mathbb{H}^1} = \frac{1}{4}(\partial_x^2+\partial_y^2) + (x^2+y^2)\partial_s^2, \quad(t,x,y,s) \in \mathbb{R}\times\mathbb{H}^1.$$Cette équation est un modèle d'équation d'évolution entièrement non dispersive. Nous montrons l'existence d'ondes progressives minimisantes de vitesse $\beta \in (-1,1)$. Lorsque la vitesse $\beta$ est suffisamment proche de $1$, nous prouvons l'unicité de ces ondes progressives à symétrie près et leur régularité en fonction du paramètre $\beta$. L'ingrédient principal est l'émergence d'un système limite lorsque $\beta$ tend vers la limite $1$, pour lequel nous établissons la stabilité linéaire de l'onde progressive minimisante