Éléments finis hp adaptatifs avec contraction d’erreur garantie et solveurs multi-niveaux inexacts

We propose new practical adaptive refinement algorithms for conforming hp-finite element approximations of elliptic problems. We consider the use of both exact and inexact solvers within the established framework of adaptive methods consisting of four concatenated modules: SOLVE, ESTIMATE, MARK, REFINE. The strategies are driven by guaranteed equilibrated flux a posteriori error estimators. Namely, for an inexact approximation obtained by an (arbitrary) iterative algebraic solver, the bounds for the total, the algebraic, and the discretization errors are provided. The nested hierarchy of hp-finite element spaces is crucially exploited for the algebraic error upper bound which in turn allows us to formulate sharp stopping criteria for the algebraic solver. Our hp-refinement criterion hinges on from solving two local residual problems posed on patches of elements around marked vertices selected by a bulk-chasing criterion. They respectively emulate h-refinement and p-refinement. One particular feature of our approach is that we derive a computable real number which gives a guaranteed bound on the ratio of the (unknown) energy error in the next adaptive loop step with respect to the present one (i.e. on the error reduction factor). Numerical experiments are presented to validate the proposed adaptive strategies. We investigate the accuracy of our bound on the error reduction factor which turns out to be excellent, with effectivity indices close to the optimal value of one. In practice, we observe asymptotic exponential convergence rates, in both the exact and inexact algebraic solver settings. Finally, we also provide a theoretical analysis of the proposed strategies. We prove that under some additional assumptions on the h- and p-refinements, including the interior node property and sufficient p-refinements, the computable reduction factors are indeed bounded by a generic constant strictly smaller than one. This implies the convergence of the adaptive strategies.Nous proposons de nouveaux algorithmes de raffinement adaptatif pour l'approximation des problèmes elliptiques par la méthode des éléments finis hp. Nous considérons des solveurs algébriques exacts puis inexacts au sein du cadre générique des méthodes adaptatives consistant en quatre modules concaténés: RESOLUTION, ESTIMATION, MARQUAGE, RAFFINEMENT. Les stratégies reposent sur la construction d'estimateurs d'erreur a posteriori par flux équilibrés. Notamment, pour une approximation inexacte obtenue par un solveur algébrique itératif (arbitraire), nous prouvons une borne sur l'erreur totale ainsi que sur l'erreur algébrique et l'erreur de discrétisation. La structure hiérarchique des espaces d'éléments finis hp est cruciale pour obtenir la borne supérieure sur l'erreur algébrique, ce qui nous permet de formuler des critères d'arrêt précis pour le solveur algébrique. Notre critère de raffinement hp repose sur la résolution de deux problèmes résiduels locaux, posés sur les macro-éléments autour des sommets du maillage qui ont été marqués. Ces derniers sont sélectionnés par un critère de type bulk-chasing. Ceux deux problèmes résiduels imitent l'effet du raffinement h et p. Une caractéristique de notre approche est que nous obtenons une quantité calculable qui donne une borne garantie sur le rapport entre l’erreur d’énergie (inconnue) à la prochaine étape de la boucle adaptative et l’erreur actuelle (i.e. sur le facteur de réduction d’erreur). Des simulations numériques sont présentées afin de valider les stratégies adaptatives. Nous examinons la précision de notre borne sur le facteur de réduction d’erreur qui s’avère être excellente, avec des indices d'efficacité proches de la valeur optimale de 1. En pratique, nous observons des taux de convergence asymptotiquement exponentiels, aussi bien dans le cadre de la résolution algébrique exacte que dans celui de la résolution inexacte. Enfin, nous menons une analyse théorique des stratégies proposées. Sous certaines hypothèses supplémentaires sur les raffinements h et p, y compris la propriété de nœud intérieur et des raffinements suffisants en p, nous prouvons que les facteurs calculables de réduction sont bornés par une constante générique strictement inférieure à 1. Ceci implique la convergence des stratégies adaptatives