Sull’inversione di funzioni

Scopo di questo articolo è introdurre al tema dell’inversione globale di funzioni. Partiamo dal teorema che deduce l’invertibilità locale della funzione dall’invertibilità dell’approssimazione affine. Illustriamo il teorema della funzione propria di Hadamard e Caccioppoli che è la pietra angolare della questione. Discutiamo poi la congettura Jacobiana di Keller legata alla domanda tuttora aperta: si può estendere il teorema di Cramer alle funzioni polinomiali? Infine usiamo il teorema della funzione propria per dimostrare che non esistono prodotti commutativi in dimensione maggiore di due, un esempio del profondo dialogo fra analisi e algebra. Il risultato è ottimale grazie ai numeri reali e complessi; i quaternioni in dimensione 4 e gli ottetti in dimensione 8 non commutano