Recursion sequences and number theory

Στη παρούσα μεταπτυχιακή διατριβή μελετούμε τις αναδρομικές ακολουθίες και ιδιαίτερα αυτές που έχουν τάξη δύο. Στο πρώτο μέρος κατασκευάζουμε μία γενική θεωρία για τις αναδρομικές ακολουθίες, ορίζουμε την τάξη και την χαρακτηριστική εξίσωση και βλέπουμε πως συνδέεται ο γενικός όρος της αναδρομικής ακολουθίας με τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης. Στο δεύτερο μέρος ορίζουμε τις γενικευμένες ακολουθίες Lucas, οι οποίες αποτελούν γενικεύσεις των αριθμών Fibonacci και Lucas, μελετούμε κάποιες αριθμοθεωρητικές ιδιότητες τους και τελικά, με χρήση αυτών των ακολουθιών αποδεικνύουμε το test των Lucas-Lehmer για τους πρώτους αριθμούς του Mersenne. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, βρίσκουμε τους όρους που είναι τρίγωνοι αριθμοί στις ακολουθίες Fibonacci, Lucas και Pell. Βάσει αυτών, βρίσκουμε όλες τις ακέραιες λύσεις σε διοφαντικές εξισώσεις που προκύπτουν από τις ταυτότητες που ισχύουν για κάθε μία από τις παραπάνω ακολουθίες.In this master thesis we study about recursion sequences and especially those whose order is two. In the first chapter we construct a general theory about recursion sequences, we define the order of the sequence and its characteristic equation. We see how the general term of the sequence is expressed by using the roots of the equation. In the second part, we define the “Lucas sequences”. These are the generalization of the Fibonacci and Lucas sequences. We prove their identities and using them, we prove the “Lucas-Lehmer” test for Mersenne primes. In the final part, we see which terms are triangular numbers in the sequences of Fibonacci, Lucas and Pell. Through this, we give all the integer solutions of some Diophantine equations