Magnetic vortices in gauge/gravity duality

Wir untersuchen stark gekoppelte Phänomene unter Verwendung der Dualität zwischen Eich- und Gravitationstheorien. Dabei liegt ein besonderer Fokus einerseits auf Vortex Lösungen, die von einem magnetischem Feld verursacht werden, und andererseits auf zeitabhängigen Problemen in holographischen Modellen. Das wichtigste Ergebnis ist die Entdeckung eines unerwarteten Effektes in einem einfachen holografischen Modell: ein starkes nicht abelsches magnetisches Feld verursacht die Entstehung eines Grundzustandes in der Form eines dreieckigen Gitters von Vortices. Die Dualität zwischen Eich- und Gravitationstheorien ist ein mächtiges Werkzeug welches bereits verwendet wurde um stark gekoppelte Systeme vom Quark-Gluonen Plasma in Teilchenbeschleunigern bis hin zu Festkörpertheorien zu beschreiben. Die wichtigste Idee ist dabei die der Dualität: Eine stark gekoppelte Quantenfeldtheorie kann untersucht werden, indem man die Eigenschaften eines aus den Einsteinschen Feldgleichungen folgenden Gravitations-Hintergrundes bestimmt. Eine der Gravitationstheorien, die in dieser Arbeit behandelt werden, ist eine Einstein--Yang--Mills Theorie in einem AdS--Schwarzschild Hintergrund mit SU(2)-Eichsymmetrie. Der Ansatz für das Eichfeld ist so gewählt, dass die zugehörige Quantenfeldtheorie einem externen Magnetfeld ausgesetzt ist. Oberhalb eines kritischen Magnetfeldes wird die Konfiguration instabil und zeigt einen Phasenübergang zu einem Supraleiter. Die Instabilität wird mit zwei Ansätzen untersucht. Zum einen werden Fluktuationen des Hintergrunds betrachtet und die Quasinormalmoden analysiert. Zum anderen zeigt die numerische Analyse der Bewegungsgleichungen, dass das effektive Schrödinger-Potential mit stärker werdendem Magnetfeld sich so lange verändert, bis ein gebundener Zustand möglich wird. Der sich ergebende supraleitende Grundzustand ist durch ein dreieckiges Vortexgitter gegeben, wie eine störungstheoretische Entwicklung über einem kleinen Parameter proportional zur Größe des Kondensats zeigt. Zur Bestimmung des energetisch bevorzugten Zustands wird mithilfe der holographischen Übersetzungsvorschrift die Gesamtenergie verschiedener Lösungen berechnet. Hierfür wird die Lösung der Bewegungsgleichungen zur dritten Ordnung in oben genanntem Parameter berechnet. Zusätzlich wird gezeigt, dass dieses Ergebnis auch für den Fall einer AdS--hard wall Geometrie gilt, also einer Feldtheorie mit Confinement. Als nächstes erweitern wir das einfache Gravitationsmodell um ein chemisches Potential und wiederholen die Untersuchung. Sind das chemische Potential, das magnetische Feld oder beide groß genug, so befindet sich das System in einer supraleitenden Phase. Wir berechnen das Phasendiagramm des Systems numerisch. Der Grundzustand der supraleitenden Phase nahe dem Phasenübergang ist ein dreieckiges Vortexgitter, wobei der Gitterabstand nur von der Stärke des magnetischen Feldes abhängt. Die Relevanz dieser Ergebnisse wird im Zusammenhang mit inhomogenen Grundzuständen in holographischen Supraleitern diskutiert, einem Themengebiet welches in letzter Zeit viel Interesse auf sich gezogen hat. Die erhaltenen Resultate sind nicht nur aufgrund der vorher unbekannten inhomogenen Lösung der Gravitationstheorie mit Schwarzem Loch neuartig. Es ist auch interessant, dass ein großes magnetisches Feld die Vortexstruktur im Grundzustand induziert anstatt sie zu unterdrücken. Des Weiteren untersuchen wir zeitabhängige Phänomene in einer holographischen Erweiterung des Kondomodells. Letzteres beschreibt ein einfaches Modell in der Festkörperphysik, in welchem eine magnetische Verunreinigung stark an ein Elektronenreservoir koppelt. Die holographische Beschreibung erfordert Techniken der numerischen Relativitätstheorie und erlaubt uns die Entwicklung des Systems nach einem plötzlichen Sprung in der Kopplungskonstante zu simulieren. Diese Doktorarbeit basiert auf Ergebnissen, die der Autor während des Studiums am Max-Planck-Institut-für-Physik in München, Deutschland unter der Betreuung von PD Dr. J. K. Erdmenger von August 2011 bis Mai 2014 erreicht hat. Die relevanten Veröffentlichungen sind: [1] M. Ammon, J. Erdmenger, P. Kerner, and M. Strydom, “Black Hole Instability Induced by a Magnetic Field,” Phys.Lett. B706 (2011) 94–99, arXiv:1106.4551 [hep-th], [2] Y.-Y. Bu, J. Erdmenger, J. P. Shock, and M. Strydom, “Magnetic field induced lattice ground states from holography,” JHEP 1303 (2013) 165, arXiv:1210.6669 [hep-th].We study strongly-coupled phenomena using gauge/gravity duality, with a particular focus on vortex solutions produced by magnetic field and time-dependent problems in holographic models. The main result is the discovery of a counter-intuitive effect where a strong non-abelian magnetic field induces the formation of a triangular vortex lattice ground state in a simple holographic model. Gauge/gravity duality is a powerful theoretical tool that has been used to study strongly-coupled systems ranging from the quark-gluon plasma produced at particle colliders to condensed matter theories. The most important idea is that of duality: a strongly coupled quantum field theory can be studied by investigating the properties of a particular gravity background described by Einstein's equations. One gravity background we study in this dissertation is AdS--Schwarzschild with an SU(2) gauge field. We switch on the gauge field component that gives the field theory an external magnetic field. When the magnetic field is above a critical value, we find that the system is unstable, indicating a superconducting phase transition. We find the instability in two ways. Firstly, we do a quasinormal mode analysis, studying fluctuations about the background. Secondly, we rewrite the equations in Schrödinger form and numerically find that, as the magnetic field is increased, the potential deepens until it is capable of supporting a bound state. Next we show that the resulting superconducting ground state is a triangular vortex lattice. This is done by performing a perturbative expansion in a small parameter proportional to the condensate size. After solving the equations to third order, we use the holographic dictionary to calculate the total energy of different lattice solutions and identify the minimum energy state. In addition, we show that the result holds in an AdS--hard wall model as well, which is dual to a confining theory. Next we extend the simple gravity model to include a chemical potential and repeat the analysis. When the chemical potential, magnetic field or both are large, the system is in a superconducting phase. We calculate the precise phase diagram numerically. The ground state in the superconducting phase near the phase transition line is shown to be a triangular vortex lattice with lattice spacing depending only on the magnetic field strength. We comment on the relevance of the results to the study of inhomogeneous ground states in holographic superconductors, a topic in which there has been much interest recently. Our results are novel not only because of the previously unknown inhomogeneous black hole solution, but also because of the effect of a large magnetic field inducing rather than inhibiting the vortex lattice ground state in a holographic model. We also study time-dependent phenomena in a holographic generalisation of the Kondo model, a simple condensed matter model of a magnetic impurity coupled strongly to a sea of electrons. This requires techniques from numerical relativity and allows us to determine the response of the system to a quench in the coupling. This dissertation is based on work the author did during a PhD fellowship under the supervision of PD Dr. J. K. Erdmenger at the Max-Planck-Institut für Physik in Munich, Germany from August 2011 to May 2014. The relevant publications are: [1] M. Ammon, J. Erdmenger, P. Kerner, and M. Strydom, “Black Hole Instability Induced by a Magnetic Field,” Phys.Lett. B706 (2011) 94–99, arXiv:1106.4551 [hep-th], [2] Y.-Y. Bu, J. Erdmenger, J. P. Shock, and M. Strydom, “Magnetic field induced lattice ground states from holography,” JHEP 1303 (2013) 165, arXiv:1210.6669 [hep-th].Ons bestudeer sterk gekoppelde fenomene deur die gebruik van dualiteit tussen ykteorieë en gravitasieteorieë. Ons fokus spesifiek op vorteks oplossings wat deur magnetiese velde voortgebring word, asook tyd-afhanklike probleme in holografiese modelle. Die belangrikste resultaat is die ontdekking van 'n onverwagte effek waar sterk nie-abelse magnetiese velde 'n driehoekige vorteksrooster grondtoestand uitlok in 'n holografiese model. Die dualiteit tussen ykteorieë en gravitasie is 'n nuttige instrument wat al gebruik is om sterk-gekoppelde stelsels te bestudeer wat wissel van die kwark-gluon plasma, wat geproduseer is by deeltjieversnellers, tot gekondenseerde materie teorieë. Die belangrikste begrip is dualiteit: 'n sterk gekoppelde kwantumveldteorie kan bestudeer word deur die eienskappe van 'n spesifieke swaartekrag agtergrond, wat beskryf word deur Einstein se vergelykings, te ondersoek. Een swaartekrag agtergrond wat ons bestudeer is AdS--Schwarzschild met 'n SU(2) ykveld. Ons skakel die ykveld komponent aan wat in die veldteorie duaal is aan 'n eksterne magnetiese veld. Wanneer die magnetiese veld bo 'n spesifieke waarde val, vind ons dat die stelsel onstabiel is, wat dui op 'n supergeleidende fase oorgang. Ons vind die onstabiliteit op twee maniere. Eerstens, doen ons 'n quasinormale modus analise, waarin ons versteurings van die agtergrond bestudeer. Tweedens, herskryf ons die vergelykings in Schrödinger vorm en vind numeries dat soos die magnetiese veld sterker word, verdiep die potensiaal totdat dit diep genoeg is vir 'n gebonde toestand om te vorm. Volgende wys ons dat die gevolglike supergeleidende grondtoestand 'n rooster van driehoekige vortekse is. Dit word gedoen deur die uitvoering van 'n versteuringsuitbreiding in 'n klein parameter wat proporsioneel is tot die grootte van die kondensaat. Na die oplossing van die vergelykings tot op die derde orde, gebruik ons ​​die holografiese vertalingsvoorskrif om die totale energie van verskillende rooster oplossings te bereken en​​~die minimum energie toestand te identifiseer. Daarna wys ons dat die gevolge in 'n AdS--hard wall model ook waar is. Die AdS--hard muur model is duaal tot 'n teorie met confinement. Volgende brei ons die eenvoudige swaartekrag model uit sodat dit 'n chemiese potensiaal in sluit en dan herhaal ons die analise. Wanneer die chemiese potensiaal, magnetiese veld of albei groot is, is die stelsel in 'n supergeleidende fase. Ons bereken die fase diagram numeries. Die grondtoestand in die supergeleidende fase naby die fase-oorgangslyn vorm 'n driehoekige vorteksrooster met rooster spasiëring wat afhang van die sterkte van die magnetiese veld. Ons lewer kommentaar op die toepaslikheid van die resultate tot nie-homogene grondtoestande in holografiese supergeleiers, 'n onderwerp waarin daar onlangs baie belangstelling was. Die nuwigheid van ons resultate l\^e in beide die voorheen onbekende swartkolk oplossing en die effek van 'n groot magnetiese veld wat die vorteksrooster grondtoestand in 'n holografiese model eerder voortbring as verhinder. Ons bestudeer ook tyd-afhanklike fenomene in 'n holografiese veralgemening van die Kondo model, 'n eenvoudige gekondenseerde materie model van 'n magnetiese onreinheid wat sterk koppel aan 'n see van elektrone. Dit vereis tegnieke van numeriese relatiwiteit en laat ons toe om die reaksie van die stelsel te bepaal na 'n vinnige sprong in die koppeling. Hierdie verhandeling is gebaseer op die werk wat die skrywer tydens 'n PhD program onder die toesig van PD Dr JK Erdmenger by die Max Planck-Institut-für Physik in München, Duitsland vanaf Augustus 2011 tot Mei 2014 gedoen het. Die toespaslike publikasies is: [1] M. Ammon, J. Erdmenger, P. Kerner, and M. Strydom, “Black Hole Instability Induced by a Magnetic Field,” Phys.Lett. B706 (2011) 94–99, arXiv:1106.4551 [hep-th], [2] Y.-Y. Bu, J. Erdmenger, J. P. Shock, and M. Strydom, “Magnetic field induced lattice ground states from holography,” JHEP 1303 (2013) 165, arXiv:1210.6669 [hep-th]