The use of radial basis functions in the numerical solution of option pricing problems

Mestrado em Mathematical FinanceEsta dissertação tem como objetivo a implementação de uma abordagem numérica moderna à solução da equação diferencial parcial de Black-Scholes, usada para calcular o preço de opções financeiras usando um método sem grelha baseado em funções de base radial. Estas equações são normalmente resolvidas através de métodos numéricos tradicionais tal como o método das diferenças finitas, elementos finitos ou volumes finitos. Mais ainda, o cálculo do preço de opções pode ser feito através de modelos binomiais e/ou simulação de Monte Carlo. A interpolação de pontos utilizando funções de base radial (RBPI) é muito útil quando o número de derivados financeiros é elevado, por exemplo no caso das "basket options" cujo lucro depende do valor de um conjunto de derivados (portefólio). Este método permite concentrar os graus de liberdade do problema nas regiões do domínio mais relevantes, distribuindo os esforços computacionais. Esta dissertação apresenta a implementação do RBPI em vários problemas teste e uma análise de convergência dos problemas relativamente à sua solução exata bem como os respetivos tempos computacionais. Foi possível concluir que o método é válido e que os resultados obtidos são consistentes. No futuro, consideraremos problemas de maior dimensão bem como outras implementações deste método.This dissertation aims at implementing a modern numerical approach to the solution of the Black-Scholes partial differential equation, used for pricing financial options, by using a meshfree method based on radial basis functions. These equations are normally solved by standard numerical methods like finite differences, finite elements or finite volumes. Additionally, option pricing can also be performed using binomial models and/or Monte Carlo Simulation. Radial Basis Point Interpolation (RBPI) is very useful when the number of derivatives is high, for example in basket options where the pay-off depends on the value of a portfolio (or basket) of derivatives. This method allows to concentrate the degrees of freedom on the most relevant regions in the domain, distributing the computational efforts. This dissertation presents the implementation of the radial basis point interpolation in several test problems and an analysis of the convergence of the discrete problems to the exact solutions, including computational times. We conclude that the method is valid and the obtained results are consistent. In the future, we will consider problems in higher dimensions as well as parallel implementations of this method.