Domain decomposition methods for large linearly elliptic three-dimensional problems

La résolution numérique de problèmes de grande taille par des techniques de décomposition de domaines est très bien adaptée aux ordinateurs parallèles de la génération actuelle. Cependant, l'efficacité de ces techniques dépend fortement de l'algorithme choisi et de son implémentation. L'approche proposée ici partage le domaine de calcul en sous-domaines non structurés de forme arbitraire et réduit le problème initial à un problème d'interface. L'opérateur associé (l'opérateur de Steklov-Poincaré au niveau continu, la matrice compl'ement de Schur au niveau discret) est ensuite inversé par un algorithme de gradient conjugué préconditionné. Cet algorithme exige à chaque étape la résolution en parallèle sur chaque sous-domaine d'un problème de Dirichlet et d'un problème de Neumann. Cette méthode a été implémentée sur CRAY 2 et sur un hypercube INTEL. Elle a étè étudiée sur un problème industriel d'élasticité linéaire tridimensionnel de grande taille. Sur cet exemple significatif, la méthode proposée est compétitive à la fois au niveau du temps calcul et de la place mémoire.The idea of solving large problems using domain decomposition technique appears particularly attractive on present day large-scale parallel computers. But the performance of such techniques used on a parallel computer depends on both the numerical efficiency of the proposed algorithm and the efficiency of its parallel implementation. The approach proposed herein splits the computational domain in unstructured subdomains of arbitrary shape, and solves for unknown on the interface using the associated trace operator (the Steklov-Poincaré operator on the continuous level or the Schur complement matrix after a finite element discretization) and a preconditioned conjugate gradient method. This algorithm involves the solution of Dirichlet and of Neumann problems, defined on each subdomain and which can be solved in parallel. This method has been implemented on a CRAY 2 computer using multitasking and on an INTEL hypercube. It was tested on a large scale, industrial, ill-conditioned, three-dimensional linear elasticity problem, which gives a fair indication of its performance in a real life environment. In such situations, the proposed method appears operational and competitive on both machines: compared to standard techniques, it yields faster results with far less memory requirements