A mathematical study of nonlinear models from relativistic quantum physics

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux modèles quantiques relativistes non linéaires. Dans la première partie, nous démontrons par une méthode de perturbation l’existence de solutions des équations d’Einstein–Dirac–Maxwell pour un système statique, à symétrie sphérique de deux fermions dans un état singulet et avec un couplage électromagnétique faible. Dans la seconde partie, nous étudions un modèle de champ moyen relativiste qui décrit le comportement des nucléons à l’intérieur du noyau atomique. Nous proposons une condition qui garantit l’existence d’une solution d’énergie minimale des équations de champ moyen relativiste dans un cas statique ; plus précisément, nous obtenons un résultat qui lie l’existence de points critiques d’une fonctionnelle d’énergie fortement indéfinie et les inégalités de concentration-compacité strictes.This thesis is devoted to the study of two nonlinear relativistic quantum models. In the first part, we prove by a perturbation method the existence of solutions of the coupled Einstein–Dirac–Maxwell equations for a static, spherically symmetric system of two fermions in a singlet spinor state and for a weak electromagnetic coupling. In the second part, we study a relativistic mean-field model that describes the behavior of nucleons in the atomic nucleus. We provide a condition that ensures the existence of a ground state solution of the relativistic mean-field equations in a static case; in particular, we relate the existence of critical points of a strongly indefinite energy functional to strict concentration-compactness inequalities.ou