An addendum to a J.M. Coron theorem concerning the controllability of the Euler system for 2D incompressible inviscid fluids

J.-M. Coron a établi un résultat de contrôlabilité approchée du système d'Euler pour les fluides parfaits incompressibles, dans les espaces Lp pour p<+∞. Lorsque la partie du bord sur laquelle s'applique le contrôle ne rencontre pas toutes les composantes connexes du bord du domaine, on ne peut pas en général obtenir la contrôlabilité L∞ car la loi de Kelvin impose un certain nombre d'invariants durant le processus. Dans cet article nous prouvons que ces invariants sont les seules objections à la contrôlabilité W1,p pour p<+∞. Sous une hypothèse naturelle supplémentaire sur les profils de vitesse à connecter, on peut assurer un résultat de contrôlabilité approchée W2,p.J.-M. Coron established a result of approximate controllability of the 2D Euler system for incompressible inviscid fluids in the Lp spaces for p<+∞. When the controlled part of the boundary does not meet every connected component of the boundary of the domain, one cannot in general extend the result to the L∞ controllability, because the Kelvin law guarantees some invariants during the process. Here we prove that these invariants are the only objection for the W1,p controllability. Under supplementary natural assumption on the flows we want to connect, we can improve the result to the W2,p approximate controllability.ou