Geodesics and PDE methods in transport models

Cette thèse est dédiée à l'étude des problèmes de transport optimal, alternative au problème de Monge-Kantorovich : ils apparaissent naturellement dans des applications pratiques, telles que la conception des réseaux de transport optimal ou la modélisation des problèmes de circulation urbaine. En particulier, nous considérons des problèmes où le coût du transport a une dépendance non linéaire de la masse : typiquement dans ce type de problèmes, le coût pour déplacer une masse m pour une longueur ℓ est φ (m) ℓ, où φ est une fonction assignée, obtenant ainsi un coût total de type Σ φ (m) ℓ. Deux cas importants sont abordés en détail dans ce travail : le cas où la fonction φ est subadditive (transport ramifié), de sorte que la masse a intérêt à voyager ensemble, de manière à réduire le coût total; le cas où φ est superadditive (transport congestionné), où au contraire, la masse tend à diffuser autant que possible. Dans le cas du transport ramifié, nous introduisons deux nouveaux modèles: dans le premier, le transport est décrit par des courbes de mesures de probabilité que minimisent une fonctionnelle de type géodésique (avec un coefficient que pénalise le mesures qui ne sont pas atomiques). Le second est plus dans l'esprit de la formulation de Benamou et Brenier pour les distances de Wasserstein, en particulier, le transport est décrit par paires de ''courbe de mesures--champ de vitesse'', liées par l'équation de continuité, qui minimisent une énergie adéquate (non convexe). Pour les deux modèles, on démontre l'existence de configurations minimales et l'équivalence avec d'autres formulations existantes dans la littérature. En ce qui concerne le cas du transport congestionné, nous passons en revue deux modèles déjà existants, afin de prouver leur équivalence: alors que le premier de ces modèles peut être considéré comme une approche Lagrangienne du problème et il a des liens intéressants avec des questions d'équilibre pour la circulation urbaine, le second est un problème d'optimisation convexe avec contraintes de divergence par La preuve de l'équivalence entre les deux modèles constitue le corps principal de la deuxième partie de cette thèse et contient différents éléments d'intérêt, y compris: la théorie des flots des champs de vecteurs peu réguliers (DiPerna-Lions), la construction de Dacorogna et Moser pour les applications de transport et en particulier les résultats de régularité (que nous prouvons ici) pour une équation elliptique très dégénérée, qui ne semble pas avoir été beaucoup étudiée.This thesis is devoted to to the study of optimal transport problems, alternative to the so called Monge-Kantorovich one: they naturally arise in some real world applications, like in the design of optimal transportation networks or in urban traffic modeling. More precisely, we consider problems where the transport cost has a nonlinear dependence on the mass: typically in this type of problems, to move a mass m for a distance ℓ costs φ (m) ℓ, where φ is a given function, thus giving rise to a total cost of the type Σ φ (m) ℓ. Two interesting cases are widely addressed in this work: the case where φ is subadditive (branched transport), so that masses have the interest to travel together in order to lower the total cost; the case of φ being superadditive (congested transport), where on the contrary the mass tends to be as widespread as possible. In the case of branched transport, we introduce two new dynamical models: in the first one, the transport is described through the employ of curves of probabilty measures minimizing a length-type functional (with a weight function penalizing non atomic measures). On the other hand, the secon model is much more in the spirit of the celebrated Benamou-Brenier formulation for Wasserstein distances: in particular, the transport is described by means of pairs ``curve of measures--velocity vector field'', satisfying the continuity equation and minimizing a suitable dynamical energy (which is a non convex one, actually). For both models we prove existence of minimal configurations and equivalence with other modelizations existing in literature. Concerning the case of congested transport, we review in great details two already existing models, proving their equivalence: while the first one can be viewed as a Lagrangian approach to the problem and it has some interesting links with traffic equilibrium issues, the second one is a divergence-constrained convex optimization problem. The proof of this equivalence represents the central core of the second part of the work and contains various points of interest: among them, the DiPerna-Lions theory of flows of weakly differentiable vector fields, the Dacorogna-Moser construction for transport maps and, above all, some regularity estimates (that we derive here) for a very degenerate elliptic equation, that seems to be quite unexplored.ou