Limits of graphs and number theory: a case for spectral zeta functions

Dans cette thèse, on s'intéresse principalement aux fonctions zetas spectrales de graphes. Ce sont des fonctions d'une variable complexe associées à des graphes, qui font intervenir le spectre du Laplacien discret. On établit une formule asymptotique pour les fonctions zetas spectrales de graphes correspondant à des tores discrets dont le nombre de sommets tend vers l'infini. Dans cette formule apparaissent les fonctions zetas du graphe de Cayley des entiers Z^d ainsi que du tore continu. On montre à l'aide de cette formule qu'une certaine équation fonctionnelle asymptotique pour les fonctions zetas des tores discrets est équivalente à l'hypothèse de Riemann. Cette équivalence est en fait vraie dans un contexte plus large, celui des fonctions L de Dirichlet. Enfin, on considère également le cas d'une suite de fibrés vectoriels de dimension 1 attachés à des tores discrets et on démontre une formule asympottique similaire