O teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg para variedades diferenciáveis

Resumo: É um fato elementar, porém importante, em geometria diferencial, o isomorfismo entre a álgebra de Lie dos campos de vetores em uma variedade diferenciável e a álgebra de Lie das derivações lineares na álgebra de funções C1 naquela variedade. O Teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg admite uma versão para variedades diferenciáveis que permite relacionar a Super- Álgebra de Lie Diferencial dos campos de polivetores sobre uma variedade diferenciável, munidos do colchete de Nijenhuis-Schouten e diferencial trivial à Super- Álgebra de Lie Diferencial das poliderivações sobre a Álgebra de funções ali definidas, munidas do colchete de Gerstenhaber e diferencial de Hochschild. Isto permite estabelecer um paralelo entre as propriedades do colchete de Gerstenhaber na cohomologia de ochschild da Álgebra de funções sobre um sistema hamiltoniano e as equações de evolução em tais sistemas, que são obtidas através de campos de 2-vetores que satisfazem relações de comutatividade com espeito ao colchete de Nijenhuis-Schouten. No presente trabalho, descrevemos de maneira rigorosa e livre de coordenadas os operadores envolvidos. Em outras palavras, poliderivaçães são definidas de maneira global e puramente algébrica. É mostrado que, quando restringimos os operadores assim definidos a sistemas de coordenadas, obtemos precisamente a definição apresentada na literatura. Além disso, demonstramos a versão para variedades diferenciáveis do Teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg