Grau de hiperbolicidade do espaço de fases e sua relação com o efeito stickiness em sistemas conservativos

Orientador: Prof. Dr. Sergio Roberto LopesTese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas, Curso de Pós-Graduação em Física. Defesa: Curitiba, 25/02/2016Inclui referências : f. 91-99Resumo: O tema principal desenvolvido nesta tese de doutorado está relacionado com o estudo da dinâmica do sistema conservativo bidimensional, conhecido como rotor pulsado periodicamente e descrito pelo mapa de Chirikov-Taylor ou mapa padrão. Os sistemas conservativos apresentam um espaço de fases composto por regiões onde a dinâmica pode ser regular (ilhas), caótica (mar caótico) ou uma mistura de ambos. Quando trajetórias caóticas se aproximam de regiões regulares, elas podem ser aprisionadas por um intervalo de tempo finito, este fenômeno é conhecido como efeito stickiness. Neste trabalho estudamos como regiões hiperbólicas e não hiperbólicas na vizinhança de uma ilha de ressonância desempenham um papel importante, permitindo ou proibindo, o fenômeno de stickiness ao redor da ilha. A vizinhança da ilha é composta por áreas não hiperbólicas que quase impedem a trajetória de visitar a borda ilha. Para alguns parâmetros específicos existem canais minúsculos incorporados nas áreas não hiperbólicas que são associados a pontos fixos hiperbólicos localizados na vizinhança da ilha. Estes canais permitem que a trajetória seja injetada na porção interna da vizinhança e quando atravessa a barreira imposta pelas regiões não hiperbólicas, gasta muito tempo para abandonar a vizinhança da ilha, uma vez que a barreira também evita que a trajetória escape. Neste cenário as estruturas não hiperbólicas são responsáveis pelo fenômeno de stickiness e, mais do que isso, pela intensidade do efeito stickiness. Mostramos que essas propriedades do espaço de fases nos permite manipular a existência de eventos extremos (e de transporte associado) responsáveis pela flutuação de não equilíbrio do sistema. De fato, demonstramos que através do monitoramento de pequenas porções do espaço de fases (isto é _ 1 _ 10??4 % dele) é possível gerar um sistema completamente difusivo eliminando tempos de recorrências longos que resultam do fenômeno de stickiness. Portanto, descrevemos um mecanismo para suprimir o efeito stickiness baseado no conhecimento da estrutura não hiperbólica na borda da ilha. Palavras-chave: Mapa padrão. Efeito stickiness. Hiperbolicidade.Abstract: The main subject developed in this thesis is the characterization of the dynamics of two dimensional conservative system known as periodically kicked rotor described by Chirikov-Taylor map or standard map. The conservative systems exhibit a phase space composed of regions where the dynamics can be regular (islands), chaotic (chaotic sea) or the coexistence of both. When the chaotic trajectories come close to regular regions, they can get trapped by a finite time interval, a phenomenon known as stickiness effect. In this work, we study how hyperbolic and nonhyperbolic regions in the neighborhood of a resonant island perform an important role allowing or forbidding stickiness phenomenon around islands in conservative systems. The vicinity of the island is composed of nonhyperbolic areas that almost prevent the trajectory to visit the island edge. For some specific parameters, tiny channels are embedded in the nonhyperbolic area that are associated to hyperbolic fixed points localized in the neighborhood of the islands. Such channels allow the trajectory to be injected in the inner portion of the vicinity and when it crosses the barrier imposed by the nonhyperbolic regions, it spends a long time abandoning the vicinity of the island, since the barrier also prevents the trajectory from escaping from the neighborhood of the island. In this scenario, the nonhyperbolic structures are responsible for the stickiness phenomena and, more than that, the strength of the sticky effect. We show that those properties of the phase space allow us to manipulate the existence of extreme events (and the transport associated to it) responsible for the nonequilibrium fluctuation of the system. In fact, we demonstrate that by monitoring very small portions of the phase space (namely _ 1 _ 10??4 % of it) it is possible to generate a completely diffusive system eliminating long-time recurrences that result from the stickiness phenomenon. Therefore, we have described a mechanism to suppress the effect of stickiness based on the knowledge of the nonhyperbolic structures on the edge of an island. Key words: Standard map. Stickiness effect. Hiperbolicity