Korrigierte Finite-Elemente- und Finite-Differenzen-Methoden für elliptische Probleme mit Singularitäten

We consider in this thesis a correction technique using finite element and finite difference methods applied to elliptic problems defined on re-entrant corner domains in two dimensions. The correction technique is used to avoid the sub-optimal convergence resulting from the pollution effect that is caused by the singular data and the non-smoothness of the boundary with an angle of the re-entrant corner between $\pi$ and $2 \pi$. A second order convergence of the finite difference and the finite element solution results from the correction technique that is based on a local modification of the definition of the energy. The global pollution resulting from the singularity at the re-entrant corner is eliminated by this local modification. The rate of convergence of the finite difference and the finite element solution is affected by a perturbation in the function defined on the boundary. We can overcome this effect theoretically by shrinking the domain to smaller domains similar to the original one fixing the tip of the re-entrant corner. This result is confirmed numerically using the correction technique by modifying functions other than the energy. These functions are the discrete energy, the discretization error, and the approximate solution measured point-wise. Also, we get a second order convergence of the finite element solution in $L^2$-norm and $L^\infty$-norm if we exclude from the domain a fixed neighborhood of the singularity. This fixed neighborhood does not depend on the refinement level. As examples of re-entrant corner domains, we consider the L-shaped domain and the slit domain, though our methods are valid for a general re-entrant corner domain. For a general slit domain with a slit line parallel to the $x$-axis, the relation between the tip of the slit domain and the modification parameter is periodic with its period being the step-size. We consider a problem in which the tip of the slit domain is not a grid node. This tip is assumed to change its position with the refinement such that it is always in a fixed relative position at each grid level from a grid node. Then the determined modification parameters exhibit second-order convergence rates of the defect functions and the $L^2$- and $L^\infty$-norms of the discretization error excluding from the domain a neighborhood of the singular point not depending on the step-size.In dieser Arbeit betrachten wir ein Korrekturschema für Finite-Elemente und Finite-Differenzen-Verfahren angewandt auf zwei-dimensionale elliptische Probleme definiert auf Gebieten mit einer einspringenden Ecke. Durch das Korrekturschema wird die sub-optimale Konvergenz aufgrund der Störungen durch nicht glatte sowie singuläre Ränder verbessert. Eine Konvergenz zweiter Ordnung kann durch das Korrekturschema basierend auf lokalen Veränderungen der Energieberechnung erreicht werden. Die globale Störung durch die Singularität an der einspringenden Ecke wird dadurch verhindert. Die Konvergenzrate der Finite-Differenzen und Finite-Elemente-Lösung wird durch die Störung der Funktion an der Randbedingung beeinflusst. Wir können dieses Problem theoretisch beheben, indem wir das Definitionsgebiet verkleinern, während wir die Spitze der einspringenden Ecke festhalten. Dieses Ergebnis wurde numerisch bestätigt, indem das Korrekturschema auf andere Funktionen als die Energie angewandt wurde. Diese Funktionen sind die diskretisierte Energie, der Diskretisierungsfehler und die punkt-weise Näherungslösung. %Außerdem kann eine Konvergenz zweiter Ordnung der Finite-Elemente-Lösung %in der $L^{2}$-norm sowie der $L^{\infty}$-norm beobachtet werden, wenn ein %bestimmtes Gebiet um die Singularität, das nicht vom Verfeinerungslevel %abhängt, ausgeschlossen wird. Außerdem kann eine Konvergenz zweiter Ordnung der Finite-Elemente-Lösung bezüglich der $L^{2}$-norm sowie der $L^{\infty}$-norm beobachtet werden, wenn ein bestimmtes Gebiet um die Singularität ausgeschlossen wird. Dieses bestimmte Gebiet hängt nicht vom Verfeinerungslevel ab. Als Beispiele für Gebiete mit einspringender Ecke betrachten wir das L-förmige Gebiet und das Schlitz-Gebiet. Das Verfahren behält seine Gültigkeit allerdings auch für beliebige Gebiete mit einspringender Ecke. Für generelle Schlitzdomains mit einem Schlitz parallel zur $x$-Achse ist das Verhältnis zwischen der Spitze des Schlitzes und des Modifikationsparameters periodisch. Die Periode ist die Schrittweite. Wir betrachten ein Problem bei dem die Spitze des Schlitzes kein Gitterpunkt ist. Es wird angenommen, dass die Spitze auf jedem Verfeinerungslevel den gleichen relativen Abstand zum Gitterpunkt hat. In diesem Fall zeigt der gewählte Modifikationsparameter eine Konvergenz zweiter Ordnung für die Defektfunktion und die $L^{2}$- sowie die $L^{\infty}$-norm des Diskretisierungsfehlers ausgeschlossen einer Umgebung um den singulären Punkt, der nicht von der Schrittweite abhängt