On the Embedding of Quantum Field Theory on Curved Spacetimes into Loop Quantum Gravity

The main theme of this thesis is an investigation into possible connections between loop quantum gravity and quantum field theory on curved spacetimes: On the one hand, we aim for the formulation of a general framework that allows for a derivation of quantum field theory on curved spacetimes in a semi-classical limit. On the other hand, we discuss representation-theoretical aspects of loop quantum gravity and quantum field theory on curved spacetimes as both of the latter presumably influence each other in the aforesaid semi- classical limit. Regarding the first point, we investigate the possible implementation of the Born-Oppenheimer approxima- tion in the sense of space-adiabatic perturbation theory in models of loop quantum gravity-type. In the course of this, we argue for the need of a Weyl quantisation and an associated symbolic calculus for loop quantum gravity, which we then successfully define, at least to a certain extent. The compactness of the Lie groups, which models à la loop quantum gravity are based on, turns out to be a main obstacle to a fully satisfactory definition of a Weyl quantisation. Finally, we apply our findings to some toy models of linear scalar quantum fields on quantum cosmological spacetimes and discuss the implementation of space- adiabatic perturbation theory therein. In view of the second point, we start with a discussion of the microlocal spectrum condition for quantum fields on curved spacetimes and how it might be translated to a background-independent Hamiltonian quan- tum theory of gravity, like loop quantum gravity. The relevance of this lies in the fact that the microlocal spectrum condition selects a class of physically relevant states of the quantum matter fields and is, therefore, expected to play an important role in the aforesaid semi-classical limit of gravity-matter systems. Following this, we switch our perspective and analyse the representation theory of loop quantum gravity. We find some intriguing relations between the topological structure of the underlying (classical) Yang-Mills theory and the centre of the quantum algebra. As an application, we show how this observation might lead to a θ-vacuum structure in loop quantum gravity when the latter is coupled to fermions.Das Hauptthema dieser Arbeit ist die Untersuchung möglicher Zusammenhänge zwischen der Schleifenquan- tengravitation und Quantenfeldtheorien in gekrümmten Raumzeiten: Einerseits wird dazu die Ableitung der Quantenfeldtheorie in gekrümmten Raumzeiten unter allgemeinen, systematischen Gesichtspunkten im Sinne eines semiklassischen Grenzfalls angestrebt. Andererseits werden Aspekte der Darstellungstheorie, sowohl der Schleifenquantengravitation als auch der Quantenfeldtheorie in gekrümmten Raumzeiten, diskutiert, da diese Theorien sich, allen Erwartung nach, gegenseitig in besagtem semiklassischen Grenzfall wechselseitig beeinflussen. Den ersten Punkt betreffend wird eine mögliche Umsetzung der Born-Oppenheimer Näherung im Sinne der raumadiabatischen Störungstheorie in Modellen, die auf Methoden der Schleifenquantengravitation beruhen, untersucht. Im Zuge dieser Untersuchung stellt es sich als notwendig heraus, eine Weyl-Quantisierung, inklu- sive des zugehörigen symbolischen Kalküls, für die Schleifenquantengravitation zu formulieren – etwas, das, zumindest bis zu einem gewissen Grad, auch gelingt. Eine völlig zufriedenstellende Definition einer solchen Weyl-Quantisierung wird durch die Kompaktheit der Lie-Gruppen, die Modellen des Typs der Schleifen- quantengravitation zugrunde liegen, verhindert. Abschließend werden die erzielten Ergebnisse auf einfache Modelle, die lineare skalare Quantenfelder in kosmologischen Raumzeiten beschreiben, angewandt. Ferner wird diskutiert, inwieweit die raumadiabatische Störungstheorie innerhalb dieser Modelle verwirklicht wer- den kann. Hinsichtlich des zweiten Punktes wird zunächst die mikrolokale Spektrumsbedingung für Quantenfelder in gekrümmten Raumzeiten unter dem Gesichtspunkt, in welchem Maße selbige in hintergrundunabhängige, hamiltonsche Quantengravitationstheorien, wie beispielsweise die Schleifenquantengravitation, übertragen werden kann, diskutiert. Einer etwaigen Überführung der mikrolokalen Spektrumsbedingung kommt beson- dere Bedeutung zu, weil mittels dieser Bedingung eine Klasse physikalisch zulässiger Zustände der quantisier- ten Materiefelder ausgezeichnet wird, und daher zu erwarten ist, dass selbige Bedingung eine entscheidende Rolle in der Betrachtung des zuvor erwähnten semiklassischen Grenzfalls eines Quantensystems, bestehend aus Gravitations- und Materiefeldern, spielt. Im Anschluss an diese Diskussion wird die Perspektive gewechselt und eine Untersuchung der Darstellungs- theorie der Schleifenquantengravitation durchgeführt. Dabei wird ein interessanter Zusammenhang zwischen der topologischen Struktur der (klassischen) Yang-Mills-Theorie, auf der die Schleifenquantengravitation be- ruht, und dem Zentrum der Quantenalgebra gefunden. Als mögliche Anwendung wird die Ableitung einer θ-Vakuumstruktur innerhalb der Schleifenquantengravitation mittels dieser Beobachtung aufgezeigt, sofern eine Kopplung an zusätzliche Fermionenfelder vorliegt