Topologieerhaltende Mehrschicht Form- und Material-Optimierung

In this thesis, we present a new approach for parametric shape optimization in combination with material parameter optimization. The main novelty of the shape optimization method is the description of the admissible set. In contrast to ‘classical’ parametric shape optimization, where the boundary is (partially) represented by the graph of a function, we use a reference configuration, which we then deform. In the reference configuration, curves are used to describe the outer boundary and interfaces of a domain. To model the deformation, we again use curves, which are interpreted as an added displacement. We add a simple ‘deformation constraint’ that controls the amount of admissible deformation. This constraint also ensures topology preservation, i.e. all admissible deformed configurations have the same topology as the reference configuration, which is necessary to guarantee that the deformed boundary and interfaces still describe a domain and its partition. For cost functions depending on the solution of a linear elasticity problem, we extend the existence results from the classical shape optimization approach to our new method. We take a detailed look at the regularity of all admissible domains and present conditions to restrict the admissible set, which ensure the preservation of given regularity, e.g. uniform cone property or domains of class C k , without losing the existence result. Using a finite element discretization for the state problem and a spline discretization of the curves in the admissible set together with a discretized version of the deformation constraint, we state a discretized optimization problem, which allows the convergence statement as known for the classical shape optimization approach. The method is extended by exchanging the static elasticity problem for the initial value problem of linear elastodynamics, and we transfer the existence and convergence statements to this transient setting. Furthermore, we present enhancements that allow this approach to be adopted for three dimensional problems. We present details of our numerical implementation, including a description of the admissible set using linear constraints for an efficient solution of the optimization problem and an extensive sensitivity analysis. The thesis concludes with several academic examples focusing on specific capabilities of the presented method and, finally, the application of the method to optimize a multi-layer silicone vocal fold model, which can be examined in a wind tunnel to better understand human phonation.Mit dieser Arbeit stellen wir einen neuartigen Ansatz zur parametrischen Form-Optimierung kombiniert mit der Optimierung von Materialparametern vor. Die grundlegende Neuheit liegt in der Beschreibung der zulässigen Menge. Im Gegensatz zur ‘klassischen’ parametrischen Form-Optimierung, bei der der Rand einesGebietes (teilweise) durch den Graph einer Funktion beschrieben wird, nutzen wir eine Referenzkonfiguration, in der der äußere Rand und Unterteilungen eines Gebietes durch Kurven beschrieben werden, die wir anschließend deformieren. Um diese Deformation zu modellieren benutzen wir wiederum Kurven, die Verschie bungen der ursprünglichen Kurven darstellen. Wir benutzen eine einfache ‘Deformations-Restriktion’, die die Größe der zulässigen Verschiebungen beschränkt, sie garantiert außerdem die Topologieerhaltung der Deformation, d.h. alle deformierten Gebiete haben die selbe Topologie, wie die Referenzkonfiguration. Dies ist nötig, um sicherzustellen, dass der noch der Deformation immer noch ein Gebiet mit Unterteilung beschrieben wird. Für Kostenfunktionen, die von der Lösung eines linearen Elastizitätsproblems abhängen erweitern wir die Existenzresultate aus der klassischen Form-Optimierungs-Theorie. Wir betrachten dabei auch die Regularität der zulässigen Gebiete und geben Bedingungen an, die die zulässige Menge so einschränken, dass die Erhaltung der Regularität des Ausgangsgebiets, z.B. für die gleichmäßige Kegelbedingung oder C k -Gebiete, gesichert ist und die Existenzaussage erhalten bleibt. Wir verwenden eine Finite-Elemente Diskretisierung für das Zustandsproblem und eine Spline Diskretisierung für die Kurven der zulässigen Menge und geben eine diskretisierte Version der Deformations-Restriktion an, um ein diskretisiertes Optimierungsproblem zu formulieren, das die Konvergenzaussagen wie in der klassischen Form-Optimierung erlaubt. Anschließend, wird die Methode auf das transiente Elastizitätsproblem erweitert und die Existenz und Konvergenzaussagen entsprechend übertragen. Außerdem präsentieren wir Erweiterungen um den Ansatz für dreidimensionale Probleme nutzen zu können. Wir erläutern die Details unserer numerischen Implementation, unter anderem eine Beschreibung der zulässigen Menge durch lineare Nebenbedingungen, was eine effiziente Lösung des Optimierungsproblem erlaubt. Weiterhin führen wir eine ausführliche Sensitivitätsanalyse durch. Zum Abschluss zeigen wir einige akademische Beispiele, um einzelne Aspekte des Ansatzes genauer zu beleuchten, und eine Anwendung der Methode um ein mehr-schichtiges Silikon Stimmlippenmodell zu optimieren, das im Windkanal verwendet werden kann, um die menschliche Stimmgebung näher zu untersuchen