Development and Investigation of polytope finite elements for nonlinear continuum mechanics

Für die Approximation der Lösung partieller Differentialgleichung hat sich in den letzten Jahrzehnten die Methode der Finiten Elemente als eines der wichtigsten Verfahren etabliert. Die dabei verwendeten Elementformen beschränken sich auf wenige einfache Geometrieprimitive, für die eine Vielzahl effizienter und leistungsfähiger Elementformulierungen im Gebiet der nichtlinearen Kontinuumsmechanik entwickelt wurden. Die Gruppe der polytopen Finite Elemente umfasst alle polygonalen und polyedrischen Elementformen und stellt eine Erweiterung der bisherigen Elemente auf eine nahezu beliebige Elementgestalt dar. Jenseits der reinen Geometrieapproximation oder einer positiven Beeinflussung der numerischen Simulationsergebnisse können diese Elemente auch zusätzliche Werkstoffinformationen, wie element- bzw. gefügekornspezifische Materialmodelle, unmittelbar berücksichtigen. Anhand der Grundlagen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik und der Methode der Finiten Elemente werden wesentliche Entwicklungsziele identifiziert. Die Diskretisierung eines Bauteils kann neben einer Rekonstruktion realer Gefüge oder einer deterministischen Vernetzung auch durch stochastische Vernetzungsverfahren realisiert werden. Zur Bewertung der Diskretisierungen werden Qualitätsmaße definiert und untersucht. Die Interpolation in polygonalen Gebieten kann durch existierende zweidimensionale Verfahren durchgeführt werden, für komplexe dreidimensionale Elemente wird ein allgemeines Interpolationsverfahren entwickelt. Die Verfahren werden hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit und Rechenzeiten untersucht. Zur Integration der diskretisierten Grundgleichungen kann für beliebige dreidimensionale Polyeder wegen fehlender Referenzkonfigurationen, auf denen optimierte und effiziente Quadraturverfahren existieren oder ermittelt werden könnten, nur die Unterteilung des Gebiets in polytope Integrationszellen mit der Projektion bekannter Quadraturpunkte universell angewendet werden. Insgesamt werden diese Methoden für die Entwicklung polytoper Elementformulierungen verknüpft. Dabei werden bekannte Ansätze und Verfahren auf allgemeine polytope Elementformen adaptiert und erweitert. Die Funktionsfähigkeit und das Potential der Elementformulierungen werden durch numerische Untersuchungen und anhand verschiedener Anwendungsbeispiele der Kontinuumsmechanik demonstriert. Die Formulierung mit einem erweiterten Verzerrungsansatz zeigt im Rahmen der durchgeführten Untersuchungen hervorragende mechanische Systemantworten.In the last decades, the finite element method has become one of the most important techniques for the approximation of the solution of partial differential equations. Within this analysis, the usually used element shapes are limited to a few geometric primitives, for which plenty of efficient and capable element formulations have been developed for nonlinear continuum mechanics. The group of polytope finite elements comprises all polygonal and polyhedral element shapes and represents a significant extension of existing formulations to almost arbitrary element configurations. Beyond sole approximation of the part geometry or the positive influence on the numerical results, these elements may incorporate additional material information, e.g. by assigning element or grain specific material models. Based on the foundations of nonlinear continuum mechanics and the finite element method substantial development milestones are defined. The discretization of a device can - besides an extensive reconstruction of real microstructures or a deterministic meshing - also be realized for three-dimensional parts by an automatic and stochastic mesh generation process. For the evaluation of the discretizations, quality measures are defined and examined. The interpolation inside polytope domains can be realized by existing two-dimensional procedures and by a newly established general interpolation scheme that is also suitable for complex three-dimensional elements. All interpolation schemes are examined with respect to their capability and computational costs. Due to missing generic element domains, in which optimized and efficient quadrature schemes exist or may be developed, only a domain decomposition into polytope quadrature cells with projection of known quadrature schemes opens an universal access for solving the fundamental equations. These methods are combined for the development of polytope element formulations, where known approaches and ideas are adapted and extended for general polytope element shapes. The functionality and potential of the proposed element formulations are demonstrated by numerical studies and different applications. The formulation with an enhanced assumed strain approach provide outstanding mechanical system responses within the scope of the considered experiments