Eine verallgemeinerte voll-Gekoppelte Approximation mit gemischten hybriden finiten Elementen für Mehrkomponenten-Zweiphasenströmungen in porösen Medien

The scope of this thesis is to develop a generalised hybrid mixed finite element approximation for compositional two-phase flows in porous media. Both phases are assumed to be miscible and they generally consists of two components. The model includes a couple of effects such as the appearance and disappearance of both the gas and the liquid phase, exchanges of components between the two phases as well as capillary effects. In general, the modelling of multi-phase multi-component flows is very challenging since the resulting equations are highly non-linear and strongly coupled which lead to numerical difficulties. This becomes even worse when phase transitions are taken into account which lead to a degeneration of the model equations. With respect to the number of phases a system of two mass conservations is set up. The choice of principal variables differs in the already existing approaches. So, a short discussion about possible principal variables is included. The disappearance of the liquid phase disables the possibility to choose the liquid pressure (which is a common choice in other approaches) as one principal unknown. By the definition of a mean pressure both phase transitions are enabled and the principal variables are well defined for any values of the gas saturation. Additional to the principal unknowns a number of state variables have to be determined. In this work all state variables are defined in terms of molar quantities, and a transformation into mass quantities is given. Due to the number of unknown variables closure relationships are necessary to close the system of equations. They form the static part of the model. Within the static system of equations two of the unknowns, namely the phase densities, can be expressed explicitly from the other ones such that it can be reduced to a system of three equations. This system is rewritten into a system of equations containing one classical equation and two conditional ones by using the approach of complementarity constraints. This formulation ensures that the saturations always remain physical. Finally, in order to be able to implement the method into the toolbox M++, it is rewritten in a general formulation. This becomes advantageous when modifications of the model are assumed as done in the numeric part of this thesis. By re-defining a single function one gets an implementation of an alternative model. Starting off with that generalised formulation two possible choices for time discretisation can be applied to obtain the semi-discrete variational formulation. Raviart-Thomas elements of lowest order are assumed for the spatial discretisation. The application of adequate test functions from corresponding function spaces leads to the full discrete formulation. By applying a hybridisation technique new unknowns, the Lagrange multipliers, are introduced and static condensation finally leads to a global system of equations only depending on those new unknowns. This system of equations is solved by a Newton's method. Within each iteration all principal variables resp. state variables are determined by local Newton's methods resp. semi-smooth Newton's methods for the system of static equations. This is implemented in M++ and applied to numerical challenging scenarios. The experiments are either based on tasks within an international benchmark or on examples given in publications that also deal with multi-component multi-phase flows including phase transitions. All examples are chosen such that important features of the method can be seen, e.g. phase transitions and phase pressure behaviours. It turned out that the method is able to deal with both phase transitions and that, due to the complementarity formulation, the model remains physical at the end of each time step. All presented choices for the model formulations and treatments of the diffusion coefficients are compared and it turned out that for the suggested examples the differences are always within the accuracy of the non-linear and linear solvers. Apart from the benchmark examples one experiment is set up to determine the rate of convergence in space and time. The development of the error of solutions, that are based either on an increased refinement level of the mesh or on a decreased time step size, is shown by means of a reference solution. It became obvious that the optimal order is not reached, which was not unexpected. Nevertheless it is shown that convergence of order alpha>1 is obtained for the given problem.Das Hauptziel der vorliegenden Arbeit ist es, eine verallgemeinerte Approximation für Zweiphasenströmungen, bestehend aus mehreren Komponenten, in porösen Medien mithilfe gemischter hybrider finiter Elemente herzuleiten. Dabei wird angenommen, dass beide Phasen mischbar sind und größtenteils je zwei Komponenten beinhalten. Dabei soll das verwendete Modell das Entstehen und Verschwinden von Phasen, den Austausch von Komponenten zwischen den zwei Phasen sowie kapillare Effekte beinhalten. Grundsätzlich ist die Modellierung von Mehrphasenströmungen eine große Herausforderung. Die zugehörigen Modellgleichungen sind sehr stark miteinander gekoppelt und hochgradig nichtlinear, was zu numerischen Schwierigkeiten führt. Dies wird durch die Einbeziehung von Phasen- übergangen noch komplexer da im Falle von verschwindenden Phasen einige der Gleichungen degenerieren. Die Gleichungen für die Massenerhaltung bilden ein Gleichungssystem bestehend aus 2 Gleichungen, entsprechend der Anzahl der Phasen. Die Wahl der Hauptunbekannten in verschiedenen, bereits existierenden, Modellansätzen wird erörtert. Da in dem hier betrachteten Ansatz auch die flüssige Phase verschwinden können soll, entfällt eine Standardwahl für eine der Hauptunbekannten, nämlich der Druck der flüssigen Phase. Stattdessen wird ein Mitteldruck definiert, der auch im Falle verschwindender Phasen wohldefiniert bleibt. Darüber hinaus gibt es eine Reihe von sekundären Unbekannten, die zusätzlich bestimmt werden müssen. Grundsätzlich werden hier molare Größen beschrieben, ein Umrechnung zu Massen ist erläutert. Aufgrund der Anzahl von Unbekannten werden weitere Gleichungen benötigt. Diese zusätzlichen Gleichungen bilden als Gleichungssystem den statische Teil des Modells. Von den sekundären Unbekannten können zwei explizit in Abhängigkeit der anderen berechnet werden, wodurch sich die Größe des Gleichungssystems auf 3 verringert. Dieses System wird unter Verwendung von Komplementaritätsbedingungen umgeschrieben. Damit wird unter anderem auch sichergestellt, dass die Sättigungen physikalisch sinnvoll bleiben. In einer verallgemeinerten Formulierung wurde das Modell dann in M++ implementiert. Diese allgemeine Form ist sinnvoll, da mit sehr wenig Aufwand Modellvariationen erzeugt werden können, die auch im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden sollen. Als Zeitdiskretisierung werden zwei verschiedene Euler-Verfahren vorgestellt, durch deren Anwendung die semi-diskreten Formulierung resultiert. Für die räumliche Diskretisierung werden Raviart-Thomas-Elemente niedrigster Ordnung verwendet. Durch die Wahl geeigneter Testfunktionen aus entsprechenden Funktionenräumen wird die voll-diskrete Formulierung hergeleitet. Durch Hybridisierung werden neue Unbekannte, die sogenannten Lagrange Multiplikatoren, eingeführt. Statische Kondensation führt letztendlich auf das zu lösende globale Gleichungssystem, welches nur noch von den Lagrange Multiplikatoren abhängt.Innerhalb jeder globalen Newton-Iteration werden lokale Probleme gelöst, bei denen die Hauptunbekannten sowie die sekundären Unbekannten berechnet werden. Dies erfolgt ebenfalls über Newton-Verfahren (lokale Newton-Iteration und semismooth Newton-Verfahren). Das vorgestellte Verfahren ist in M++ implementiert worden und wurde auf numerisch herausfordernde Experimente angewandt. Diese Experimente sind zum einen durch einen internationalen Benchmark vorgegeben, zum anderen stammen die Setups aus Publikationen, die sich ebenfalls mit dieser Thematik befassen. Grundsätzlich wurden die Experimente so ausgewählt, dass die entscheidenden Effekte beobachtet werden konnten, wie beispielsweise die Phasenübergänge und das Verhalten einzelner Phasendrücke. Es ist ersichtlich, dass das vorgestellte Verfahren in der Lage ist, beide Phasenübergänge zu realisieren. Des weiteren ist aus dem Vergleich der verschiedenen Modellwahl beziehungsweise Behandlung der Diffusionskoeffizienten ersichtlich, dass sich die Unterschiede zwischen den Lösungen immer innerhalb der vorgegebenen Genauigkeit der verwendeten Lösungsalgorithmen befinden. Zusätzlich wurde anhand eines numerischen Experiments die Konvergenzordnung des Verfahrens untersucht. Dazu wurden Simulationen mit unterschiedlicher Gitterweite beziehungsweise Zeitschrittweiten mit einer berechneten Referenz- lösung verglichen und der globale L2-Fehler berechnet. Wie zu erwarten war, konnte die theoretisch mögliche Konvergenzordnung nicht erreicht werden. Dennoch zeigte sich, dass das Verfahren für das gestellte Problem mit Ordnung alpha>1 sowohl im Raum als auch in der Zeit konvergiert