Kazhdan-Lusztig combinatorics in the moment graphs setting

Impulsgraphen, sowie Kazhdan-Lusztig-Polynome, liegen an der Schnittstelle von algebraischer Kombinatorik, Darstellungstheorie und geometrischer Darstellungstheorie. Während die Kombinatorik der Kazhdan-Lusztig Theorie schon seit dem grundlegenden Artikel von Kazhdan und Lusztig (1979), das diese Polynome definiert, untersucht wurde, wurden Impulsgraphen noch nicht als kombinatorische Objekte betrachtet. Das Ziel dieser Arbeit ist, zuerst eine axiomatische Theorie über Impulsgraphen und Garben auf ihnen zu entwickeln und anschließend diese auf die Untersuchung einer fundamentalen Klasse von Impulsgraphen, nämlich die -regulären und parabolischen- Bruhat-Impulsgraphen, anzuwenden. Sie sind mit jeder symmetrisierbaren Kac-Moody Algebra verbunden und die zugehörigen Braden-MacPherson Garben beschreiben die projektiven unzerlegbaren Objekten der - regulären oder singulären- Kategorie O. Dies ist für uns der wichtigste Grund, zusammen mit ihrem inneren kombinatorischen Interesse, Bruhat-Impulsgraphen zu untersuchen. Im ersten Kapitel definieren und beschreiben wir die Kategorie der k-Impulsgraphen auf einem Gitter. Zentraler Punkt dieses Teils ist die Definition des Begriffs von Morphismus. Das zweite Kapitel ist über die Kategorie der Garben auf einem k-Impulsgraph. Wir definieren die Pullback und Push-Forward Funktoren und wir beweisen, dass sie gute Eigenschaften haben. Wie in der klassischen Garbentheorie ist der Pullback links-adjungiert zum Push-Forward. Außerdem zeigen wir, dass der Pullback eines Isomorphismus die wichtigste Klasse von Garben auf einem k-Impulsgraph, genauer die unzerlegbaren Braden-MacPherson Garben, erhält. Dieses Ergebnis wird ein grundlegendes Instrument im Kapitel 5 werden. Im folgenden Kapitel betrachten wir die Familie von Bruhat k-Impulsgraphen, die mit einer symmetrisierbaren Kac-Moody-Algebra verbunden sind. Das interessanteste Ergebnis des ersten Teils dieses Kapitels ist die Realisierung von parabolischen Bruhat-Impulsgraphen als Quotienten - im Sinne von Kapitel 1 - des regulären Bruhat-Impulsgraph. Im zweiten Teil des Kapitels untersuchen wir den affinen Fall. Insbesondere bekommen wir eine explizite Beschreibung von gewissen endlichen Intervallen des Bruhat-Impulsgraphs die zur affine Grassmannschen assoziiert sind. In Kapitel 4 verallgemeinern wir eine Kategorifizierung von Fiebig der Hecke-Algebra auf den parabolischen Fall. Der grundlegende Schritt ist die Definition eines involutiven Automorphismus der Strukturalgebra des parabolischen Bruhat-Impulsgraphen. In den letzten zwei Kapiteln kategorifizieren wir gewisse Eigenschaften der Kazhdan--Lusztig-Polynome durch Garben auf Impulsgraphen. Insbesondere werden die Ergebnisse aus Kapitel 5 über die Kombinatorik und Eigenschaften der unzerlegbaren Braden-MacPherson Garbe sowie die Aussagen aus Kapitel 1 über den Pullback Funktor angewendet. Der Beweis des Hauptergebnisses des Kapitels 6 ist ziemlich aufwendig und benutzt neben Ergebnissen von Fiebig die bis dahin entwickelten Techniken aus den vorherigen Kapiteln.Moment graphs, as well as Kazhdan-Lusztig polynomials, straddle the intersection of algebraic combinatorics, representation theory and geometric representation theory. While the combinatorial core of the Kazhdan-Lusztig theory has been investigated for thirty years, after the seminal paper of Kazhdan-Lusztig (1979) where these polynomials were defined, moment graphs have not yet been studied as combinatorial objects. The aim of this thesis is first to develop an axiomatic theory of moment graphs and sheaves on them and then to apply it to the study of a fundamental class of moment graphs: the -regular and parabolic- Bruhat (moment) graphs. They are attached to any symmetrisable Kac-Moody algebra and the associated indecomposable Braden-MacPherson sheaves describe the indecomposable projective objects in the corresponding deformed -regular or singular- category O. This is for us the most important reason to consider Bruhat graphs, together with their intrinsic combinatorial interest. In the first chapter, we define and describe the category of k-moment graphs on a lattice. The fundamental point of this part is the definition of the notion of morphism. The second chapter is about the category of sheaves on a k-moment graphs. We give the definition of the pullback and push-forward functors and we prove that they have nice properties. In particular, as in classical sheaf theory, the pullback ist left adjoint to the push-forward. Moreover, we show that the pullback of an isomorphism preserves the most important class of sheaves on a k-moment graph: the indecomposable Braden-MacPherson sheaves. This result will be a fundamental tool in Chapter 5. In the following chapter we study the family of Bruhat (k-moment) graphs associated to a simmetrisable Kac-Moody algebra. The most interesting result of the first part of this chapter is the realisation of parabolic Bruhat graphs as quotients - in the sense of Chapter 1- of the regular one. The second part of the chapter is devoted to the study of the affine case. In particular, we describe certain finite intervals of the Bruhat graph corresponding to the Affine Grassmannian in a very precise way. In Chapter 4 we generalise to the parabolic setting a categorification, due to Fiebig, of the Hecke algebra. The fundamental step is the definition of an involutive automorphism of the structure algebra of parabolic moment Bruhat graphs