Vorwärts und Inverse Probleme der Piezoelektrizität

For understanding and predicting the behavior of piezoelectric devices, efficient numerical simulation tools, in particular the finite element method, have been developed and are used widely. Time consuming and expensive experiments, necessary for developing new piezoelectric products, sensors and actuators, are avoided by numerically solving the mathematical formulation of the underlying physical model. This model consists of a coupling between two physical quantities, namely electric field and mechanical strain and is given by a set of partial differential equations with appropriate boundary and initial conditions. Well-posedness results concerning the solutions of the underlying PDEs are presented in this work for time-dependent, harmonic, and static computations where appropriate damping and loss mechanisms are taken into account. The accuracy of the simulation, however, relies sensitively on the material parameters governing the interaction of the physical quantities. Without the knowledge of the exact parameters no quantitative predictions can be made by numerical computations. So far, these parameters have been estimated by measurements proposed by the IEEE Standard or the European Norm CENELEC from well-defined test samples. The special shapes recommended there allow for simplifications, namely reduction to onedimensional problems, in the model. Explicit formulas allowing for parameter extraction from resonance characteristics and other measureable quantities are developed. However, these results do not provide sufficiently precise information on the material coefficients. This can be seen by comparing three dimensional simulation results with parameters gained by the classical methods with measurements of the electrical impedance or mechanical displacement. In order to overcome these insufficient exactness, efforts are invested in the inverse problem, namely the simulation-based parameter identification for piezoelectric materials. The research and methods developed in this thesis consider both the linear and the nonlinear case. For the latter functional dependencies of the materials properties from the field quantities are assumed, a model which in particular is suitable for large-signal driven resonators at high frequencies, e.g. in sonar applications. The inherent instability of the inverse problem is treated with special care by applying appropriate regularizing methods. An iterative multilevel algorithm based on modified Landweber methods is developed here. The algorithm extends ideas of O. Scherzer and shows to be very effective in combination with the detection of parameter curves as they occur in nonlinear applications. Convergence results in the case of noisy data, and regularizing properties are given for this algorithm. Sensitivity analyses and methods of optimal experiment design show the reliability of the identified parameters and give rules how to improve identification results effectively without remarkably increasing the computational effort.Seit geraumer Zeit werden numerische Simulationswerkzeuge eingesetzt, insbesondere die Finite Elemente Methode, um piezoelektrische Bauteile und deren Funktionsweisen genau zu verstehen und um deren Verhalten vorherzusagen. Zeitaufwändige und teure Experimente, die für die Entwicklung neuartiger piezoelektrischer Produkte, Sensoren und Aktoren, nötig sind, können durch die numerische Simulation des mathematischen Modells ersetzt werden. Jenes besteht aus der Koppelung zweier physikalischer Größen, des elektrischen Felds einerseits und der mechanischen Dehnung andererseits. Das mathematische Modell wird durch ein System von partiellen Differentialgleichungen mit entsprechenden Rand- und Anfangswerten beschrieben. Für jeweils den zeitabhängingen, harmonischen und statischen Fall werden in dieser Arbeit Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen zu den Lösungen der zugrundeliegenden partiellen Differentialgleichungen formuliert. Passende Dämpfungs- und Verlustmechanismen werden dabei berücksichtigt. Die Genauigkeit der Simulation hängt jedoch sehr von den Materialparametern ab, welche das Zusammenspiel der physikalischen Größen steuern. Ohne eine genaue Kenntnis dieser Parameter können keine quantitativen Aussagen gemacht werden. Bislang wurden die Materialparameter nach Vorgaben des IEEE Standards und der europäischen Norm CENELEC aus Messungen an wohldefinierten Probekörpern bestimmt. Die vorgeschlagenen speziellen Geometrien erlauben vereinfachte eindimensionale Modelle. Explizite Formeln wurden entwickelt, welche es ermöglichen, die Parameter aus Resonanzerscheinungen und anderen messbaren Größen zu bestimmen. Jedoch bieten deren Ergebnisse keine hinreichend exakten Informationen über die Materialparameter. Dies wird schnell verdeutlicht, wenn man dreidimensionale Simulationen mit den aus klassischen Methoden ermittelten Parametern durchführt und diese Ergebnisse mit gemessenen elektrischen Impedanzen und mechanischen Verschiebungen vergleicht. Um diese unzureichende Genauigkeit zu verbessern, wird das dazugehörige inverse Problem, nämlich die simulationsbasierte Identifizierung der Materialparameter für das piezoelektrische Problem behandelt. Die Untersuchungen und Methoden, welche in dieser Arbeit entwickelt werden, berücksichtigen sowohl den linearen wie auch den nichtlinearen Fall. Im zweiten Fall wird von funktionalen Abhängigkeiten der Materialeigenschaften von den Feldgrößen ausgegangen, einem Modell, welches speziell für großsignalbetriebene Wandler in Hochfrequenzbereichen, z.B., sonaren Anwendungen, passend ist. Die inhärene Instabilität des inversen Problems wird mit spezieller Vorsicht behandelt, indem geeignete Regularisierungsmethoden angewandt werden. Ein iterativer Multilevelalgorithmus, welcher auf modifizierten Landweber Methoden basiert und die Ideen von O. Scherzer erweitert, zeigt sich als effektiv in Bezug auf die Charakterisierung von Parameterkurven, wie sie bei nichtlinearen Anwendungen auftreten. Für diesen Algorithmus werden Aussagen über die Konvergenz im Fall von verrauschten Daten und regularisierende Eigenschaften präsentiert. Sensitivitätsanalysen und Methoden der optimalen Versuchsplanung zeigen die Vertrauenswürdigkeit der ermittelten Parameter und geben Hinweise, wie die Identifizierbarkeit effektiv verbessert werden kann ohne den rechnerischen Aufwand merkbar zu erhöhen