Su alcuni modelli matematici per la malattia di Alzheimer

In questa tesi sono stati studiati in dettaglio due modelli matematici per la malattia di Alzheimer. Il primo modello, incentrato sull'esordio della patologia, riguarda l'aggregazione e la diffusione della beta-amiloide, il peptide che costituisce le placche senili e la cui forma oligomerica è strettamente connessa alle disfunzioni cognitive tipiche della malattia. L'aggregazione è stata modellizzata mediante l'equazione di Smoluchowski. Sono stati utilizzati tre problemi di Cauchy-Neumann per descrivere il comportamento di monomeri, oligomeri solubili e placche. Per il problema costituito da questi tre sistemi è stata dimostrata l'esistenza di una soluzione per tutti i tempi positivi, la sua unicità e positività, utilizzando in particolare il principio di massimo parabolico e il teorema del confronto che ne deriva. Si è così garantito che il modello è ben posto. Tramite strumenti classici, come il teorema della divergenza e il lemma di Gronwall, sono state provate stime asintotiche per la massa totale di monomeri, oligomeri e placche. Il secondo modello studia l'evoluzione della malattia, concentrandosi sull'interazione tra beta-amiloide e proteina prionica, che da numerosi studi sembra essere un recettore del peptide. Con tecniche classiche di teoria delle equazioni differenziali ordinarie è stato provato che il sistema costituito dalle equazioni di evoluzione per le quattro quantità d'interesse (densità delle placche e concentrazioni di oligomeri, di proteina prionica e del complesso formato da un oligomero che si lega alla proteina prionica) ha un'unica soluzione globale non negativa. È stato poi dimostrato che il sistema ha un unico stato stazionario e, mediante il criterio di Routh-Hurwitz, ne è stata dedotta la stabilità asintotica locale. Sotto una determinata condizione sui parametri e considerando la velocità di nucleazione nulla, si è infine ottenuto un risultato di stabilità asintotica globale, desunto da criteri di stabilità di Liapunov e Lasalle