Bifurcation and stability of periodic solutions for nonlinear lattices with analytical methods

The aim of the present thesis was to study the bifurcation and stability of periodic solutions for nonlinear lattices. At first we study a model of a one-dimensional magnetic metamaterial formed by a discrete array of nonlinear resonators. We focus on periodic and localized traveling waves of the model, in the presence of loss and an external drive. Employing a Melnikov analysis we study the existence and persistence of such traveling waves, and study their linear stability. We show that, under certain conditions, the presence of dissipation and/or driving may stabilize or destabilize the solutions. Our analytical results are found to be in good agreement with direct numerical computations. Moreover we study the dynamics of a pair of parametrically-driven coupled SQUIDs arranged in series. We take advantage of the weak damping that characterizes these systems to perform a multiple-scales analysis and obtain amplitude equations, describing the slow dynamics of the system. This picture allows us to expose the existence of homoclinic orbits in the dynamics ofthe integrable part of the slow equations of motion. Using high-dimensional Melnikov theory, we are able to obtain explicit parameter values for which these orbits persist in the full system, consisting of both Hamiltonian and non-Hamiltonian perturbations, to form so-called Silnikov orbits, indicating a loss of integrability and the existence of chaos. Finally we investigate a one-dimensional parity-time (PT)-symmetric magnetic metamaterial consisting of split-ring dimers having both gain and loss. Employing a Melnikov analysis we study the presence of transverse homoclinic orbits and homoclinic bifurcations which allow the emergence of chaos.Σκοπός της διατριβής ήταν η μελέτη διακλαδώσεων και ευστάθειας περιοδικών λύσεων σε μη γραμμικά πλέγματα. Αρχικά μελετήσαμε ένα μοντέλο μίας διάστασης μαγνητικού μεταυλικού που αποτελείται από μία διακριτή σειρά από μη γραμμικούς συντονισμούς. Μελετήσαμε περιοδικά καθώς και στάσιμα οδεύοντα κύματα του μοντέλου. Χρησιμοποιώντας ανάλυση Melnikov μελετήσαμε την ύπαρξη καθώς και την παραμονή τέτοιων κυμάτων όπως επίσης και την γραμμική τους ευστάθεια. Επίσης βρήκαμε συνθήκες κάτω από τις οποίες μπορούμε να έχουμε ευστάθεια ή αστάθεια των λύσεων. Τα αναλυτικά μας αποτελέσματα συμφωνούν απόλυτα με τα αριθμητικά αποτελέσματα όπου χρησιμοποίησαμε την μέθοδο Runge-Kutta και την Floquet Method. Στην συνέχεια μελετήσαμε την δυναμική ενός ζεύγος από SQUIDS σε σειρά. Χρησιμοποιώντας πολυ-βαθμωτή ανάλυση υπολογίσε τις εξισώσεις πλάτους, οι οποίες περιγράφουν την αργή δυναμική του συστήματος. Απ' όπου βρήκαμε την ύπαρξη ομοκλινικών τροχιών στην δυναμική του ολοκληρώσιμου μέρους των αργών εξισώσεων τις κίνησης. Χρησιμοποιώντας ανάλυση Melnikov για μεγάλες διαστάσεις βρήκαμε τις τιμές των παραμέτρων για τις οποίες αυτές οι τροχιές εξακολουθούν να υπάρχουν και σε ολόκληρο το σύστημα, αποτελούμενες από Χαμιλτονιανές και μη Χαμιλτονιανές διαταραχές, σχηματίζοντας Silnikov τροχιές, οι οποίες υποδεικνύουν την έλλειψη ολοκληρωσιμότητας και την ύπαρξη χάους. Τέλος μελέτησαμε οδεύοντα κύματα σε πλέγματα μεταυλικών με μη γραμμική σύζευξη αλλά με γραμμικό δυναμικό και συζευγμένες εξισώσεις πλεγμάτων με ισορροπημένο κέρδος και χάσιμο χρησιμοποιώντας ανάλυση Melnikov